数学中的_一般化与特殊化方法课件.ppt

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1、一般化与特殊化方法众所周知，“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，它在如下两个方面制约着化归方法的运用。一方面，由于事物的特殊性中包含着普遍性，即所谓共性存在于个性之中，而相对一般而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知，因而当我们处理问题时，必须注意到问题的普遍性存在于特殊之中，进而去分析考虑有没有可能把待解决的问题化归为某个特殊问题.§5.3一般化与特殊化方法另一方面，由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”更能反映事物的本质，因而当我们处理问题时，也必须置待解决的问题于更为普遍的情形之中，进而通过对一般情形的研究

2、而去处理特殊情形。从总体角度来看，这两个方面既各有独特的作用，又是互相制约、互相补充的。一般化与特殊化方法是数学研究及数学解题中的常用的化归方法。§5.3一般化与特殊化方法一、特殊化方法波利亚曾经说过：“特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到该集合的一个较小的子集，或仅仅一个对象。”特殊化常表现为范围的收缩或限制，即从较大范围的问题向较小范围的问题过渡，或从某类问题向其某子类问题的过渡。从形式上看，将一般性问题特殊化是不困难的，但某个一般性问题经过不同的特殊化处理会得到多个不同的特殊化命题，那么，哪个特殊化命题最有利于一般性问题的解决呢？显然，较为理想化的特殊问

3、题是其自身容易解决，且从其解决过程中又易发现或得到一般性问题的解法。§5.3一般化与特殊化方法由于一方面，题目的特殊情形，往往比它的一般情形易于解出；另一方面，由于特殊情形的解与一般情形的解往往有共性，特殊情形的解往往能给出怎样解一般情形的启示。因此，先作出特殊情形的解，再根据它的启示去解一般情形往往是很可取的。§5.3一般化与特殊化方法特殊化的关键是能否找到一个最佳的特殊化问题。先看一个古老而著名的难题——“摆硬币”。例1、两人相继往一张圆桌上平放一枚同样大小的硬币（两人拥有同样多的硬币，且两人的硬币合起来足够摆满桌子），谁放下最后一枚而使对方没有位置再放，谁

4、就获胜，试问是先放者获胜还是后放者获胜？怎样才能稳操胜券？§5.3一般化与特殊化方法当时有人向一位有才能的数学家提出这一难题时，引出了如下一段有趣的对话。数学家：这有什么难的！如果圆桌小到只能放下一枚硬币，那么先放者获胜。提问者：这还用你讲？简直是废话！数学家：不！这是一个很重要的特殊情况，它的解决将导致一般情况的解决。提问者：怎么解决？数学家：我先放中心位置，利用圆桌的对称性，我就可以获胜，不管是圆桌还是方桌，只要有对称中心就行，硬币大小也可以不一，只要两人都有就行。§5.3一般化与特殊化方法数学家独具慧眼，从一般性问题一下子找到一个极易求解的特殊情形，并能将

5、该特殊情形下的解法推向一般，从而轻而易举地解决了上述难题，而且还做了推广。需要特别指出的，将一个一般性的问题特殊化，通常并不难，而且经特殊化处理后会得到若干个不同的特殊问题，我们应该注意从中选择出其解法对一般解法有启迪的，或一般情况易于化归为该特殊情况来求解的。如在例1中任取圆桌径为1米，硬币直径为2厘米，得到另一特殊问题，但其解法难于利用和推广。§5.3一般化与特殊化方法例2、在单位正方形的周界上任意两点之间连一条曲线，如果它把正方形分成面积相等的两部分，证明这条曲线的长度不小于1。图9--13ABCDMN（a）分析：满足题设的两点，所在位置可分为：①两点在单

6、位正方形的一组对边上；②两点在单位正方形的一组邻边上；③两点在单位正方形的同一条边上；ABCDMN（b）ABCDMN（c）§5.3一般化与特殊化方法容易看到，①是最好解决的，如图9-13（a），曲线MN的长度≥AB=1。然后，设法把②、③类情况化归为情况①。情况②如图9-13（b），曲线MN必与AC相交（否则MN不可能把正方形分为两个等积形），设交点为G，作GM关于AC的对称曲线GM′，此时M′在AD上，由①知曲线NGM′的长度≥1，从而曲线MN的长度≥1。ABCDMN（b）M′G§5.3一般化与特殊化方法ABCDMN（c）M′EFG情况③，如图9-13（c），

7、将它化归为①的情形的作法与②类似，只须把②中的对称轴AC改为对称轴EF（EF与M、N所在边AB平行，且为中位线）即可。例3：在平面给出100个点，已知其中任意两点的距离不超过1，且任意3点构成钝角三角形.试证：能用某个半径为1/2的圆盖住这100个点。如图所示，A、B两点间的距离最大，则A、B的距离不超过1AB·C§5.3一般化与特殊化方法例4、若xi>0(i=1,2,3,……,n)，则分析：把结论特殊化，取两项进行研究，即先证逆推，去分母、比较，（1）即可得证，但这一证法不能推广到一般的n，即它只具特殊性而无一般性。§5.3一般化与特殊化方法若采取添项的办法，

8、由算术——几何平均不等式