第十九讲特殊化与一般化

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1、第十九讲特殊化与一般化特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时，从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象．也就是为了解答一般问题，先求解特例，然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题．另外，特殊化、一般化和类比联想结合起来，更可以由此及彼地发现新命题、开拓新天地．1．特殊化、一般化和类比推广命题1在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的高(图2-102)，则有CD2=AD·BD．这是大家所熟知的直角三角形射影定理．类比命题1，如果CD是斜边上的中线，将怎样？由此得到命题2．命题2在△AB

2、C中，∠C=90°，CD是斜边上的中线(图2-103)，则有CD=AD=BD．这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理(在此定理中仍保持CD2=AD·BD)．再类比，如果CD是∠C的平分线，将怎样？于是得到命题3．命题3在△ABC中，∠C=90°，CD是∠C的平分线(图2-104)，则有这是一个新命题，证明如下.引DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．因为而我们把命题1、命题2、命题3一般化，考虑D点是AB上任一点，便产生了以下两个命题．命题4在△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任一内分点(图2-1

3、05)，则有证引DF⊥AC于F，DE⊥BC于E．因为CD2-BD2＝CE2-BE2=(CE-BE)BC，而所以即命题5在△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任一外分点(图2—106)，则有证只要令命题4之结论中AD为-AD，则有我们再把命题4和命题5特殊化，令D点与A点重合(即│AD│=0)，那么无论是①式或②式都有AB2=BC2+AC2.这就是我们熟知的勾股定理．命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的，因此，它们也可称作广勾股定理．下面用命题4或命题5来证明以下定理．定理在△ABC中，AB=

4、c，BC=a，AC=b，a在c上的射影为n，时，取“-”号，∠B为钝角时，取“＋”号)．证我们仅利用命题4证图2-107中的情况(∠B＜90°)．为此，我们作图2-109，其中∠DBA=90°，CD=x，CE⊥DB于E，并设CE=n．由命题4，立得得所以b2=a2+c2-2cn．同理可证图2-108(∠B＞90°)的相应结论．2．特殊化、一般化在解题中的应用例1设x，y，z，w为四个互不相等的实数，并且求证：x2y2z2w2=1分析与解我们先考虑一个特例，只取两个不同实数，简化原来命(1)求证这个特殊化的辅

5、助问题就容易多了．事实上，因为又因为到原命题，由容易想到变形去分母变形为①×②×③×④，并约去(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)(利用x，y，z，w互不相等)就得到x2y2z2w2=1.例2设凸四边形O1O2O3O4的周长为l，以顶点O1，O2，O3，O4为圆心作四个半径为R的圆轮．如果带动四个圆轮转动的皮带长为s，求s的长度(图2-110)．解(1)先解一个特例(图2-111)．设只有两个圆轮⊙O1，⊙O2，2│O1O2│=l＇．显然，带动两轮转动的皮带长度为s=l＇+2πR．(2)再回到原题，我们

6、猜想：s=l＋2πR．以下证实这个猜想是正确的．为此，设皮带s与各圆轮接触的四个弧为由于它们是等圆上的弧，因此，只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可．事实上，引O1A＇3∥O2A3，由于O1A1∥O2A2，所以∠A1O1A＇O1为圆心，以R为半径的圆．因此，四圆弧之长为2πR．又因为O1O2=A1A2，O2O3=A3A4，O3O4=A5A6，O1O4=A7A8，所以l＝A1A2＋A3A4＋A5A6＋A7A8．所以，所求皮带长为s=l＋2πR．例3设a1，a2，…，an都是正数．试证：证欲证①成立，先考虑最简单

7、的情形，设n=3，即证把②变形为即证由于④中左边有(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)，其和为零，因此，我们猜想：若④式左边相加，其和不小于(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)之和即可．为此，我们证更简单的事实．设a，b是任意正整数，则有事实上，由(a-b)2≥0有a2-ab≥ab-b2，所以a(a-b)≥b(a-b)，根据⑤，④显然成立，因为≥(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a1)≥0，从而③式成立，②式成立．剩下来的工作是把②式推到一般情形①，这是很容易的．因为根据⑤，①式必

8、然成立，因为≥(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-1-an)+(an-a1)=0.练习十九1．如图2-112．已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线，设垂足分别为A＇，B＇，C＇，D＇．求证：＇A＋B＇B=C＇C＋D＇D．2．在上题中，如果移动直线l，使它与四边形ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些(如l过A，或l交AB，BC等)，那么，相应地结论会有什么变化？试作出你的猜想和证明．3．在