浅谈一般化、特殊化

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1、东处師范丈摩迤程鸟縫钱教育拷浣网络教育本科毕业论文题目浅谈一般化,特殊化学生姓名熊辉专业数学教育年级0402级学习中心陕西汉中教育学院奥鹏学习中心[8]学号04025042704045指导教师沈广艳通讯地址陕西省南郑县黄官中学2006年12月10日浅谈一般化，特殊化陕西省南郑县黄官中学熊辉［摘要］:特殊化和一般化是数学思维中的两中基本形式，它们在数学领域里发挥着重要的作用，同时它们也是我们常用的数学解题思想，理解掌握它们是我们学习数学，研究数学的前提条件。［关键词］:一般化特殊化抽象认识作用反思启示1对一般化、特殊化的基本认识1.1一般化和特殊化构成了数

2、学抽象思维的两种基木形式“从特殊到一般，再由一般到特殊”，这是认识的一个基本规律，这一规律在数学的认识活动屮也有着十分重要的应用.具体地说，一般化和特殊化即就构成了数学抽象思维的两种基本形式.文［1］1.1.1"i般化”(generalization)也可称为“弱抽象”，扌旨由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为普遍、更为一般的概念或理论，并使前者成为后者的特例.由现实原型出发去建构相应的数学模型显然就是一个弱抽彖的过程；另外，除真实的事物和现彖以外，我们也可以已经得到建立的数学概念或理论为原型去进行抽象，例如，由“全等形”的概念出发，通

3、过分离出“形状和似”和“面积相等”的特性，我们就可以分别获得“相似形”和“等积形”的概念，从而，相对于后者而言，全等形的概念就可说是一个原型，而由全等形的概念出发去建立相似形和等积形的概念则就是一个弱抽象的过程.弱抽彖在数学屮有着十分广泛的应用.例如，数学屮有很多概念是密切相关、互相联系的，而如果从生成的角度去进行分析，它们就可看成一个“弱抽彖概念链”，即由某一概念出发经多次弱抽象逐步生成的.例如，如果用符号“一㈢一”表示弱抽象的关系，那么，函数概念的历史演变事实上可以看成一系列弱抽象的过程，即有(图1)：对弱抽象在数学中的具体应用，可归结为：第一，只有

4、结构内容较为丰富的对象才能作为弱抽象的原型；第二，实现弱抽象的关键在于如何对原型的性质作出具体分析，并从中分离出某个或某些特性；第三，为了最终完成所说的弱抽象，我们必须用明确的规范化语言去表达分离出来的特性，并以此为定义构建出新的、更为一般的对彖.1.1.2“特殊化"（specialization）也叫做“强抽象”，是指通过引入新特征强化原型来完成抽象，因此，所获得的新概念或理论就是原型的特例.例如，由一般三角形的概念出发，通过引入“边相等”与“一个角为直角”的条件，我们就分别获得了“等腰三角形”和“直角三角形”的概念，它们显然都可看成前者的特例.与弱抽

5、象的悄况相类似，在数学的历史发展中我们也可找到不少强抽象的例子.一般地说，这往往是与概念的澄清（分化）直接相联系的.就最终的表现形式而言，强抽象即可看成概念的适当组合.强抽象的最终表现形式也是较为简单的.但是，就实际的数学研究过程而言，这乂往往并非是现成概念的简单组合，而必须通过新的特征的“发现”或”引入，才能由原型中分化出更为特殊的概念或理论.具体的说，为了实现强抽象，数学家们往往必须首先在原形屮引入某种新的关系，如某种映射，对应关系或运算等，然后，如果这种新的关系造成了原有概念的分化，我们就可以所得出的子类的共同特性去定义新的、更为特殊的对象•例如：

6、通过曲线（点）与方程（数组）Z间建立对应关系，我们就可依据方程的类别（一次方程、二次方程）去对相应曲线作出分类，而一次曲线、二次曲线等相对于一般的曲线而言显然是更为特殊的.1.1.3弱抽象和强抽象的关系文[2]第一，强抽象和弱抽象是方向相反的两种思维方法.从思维活动的方向看，弱抽象是“特殊到一般”的过程，强抽象则是“一般到特殊”的过程.曲于强抽彖是“一般到特殊”的过程，因而其实际是演绎推理的过程，这个过程比较直接，但不易理解.用这种方法建构新的数学概念，对思维水平要求较高…些.弱抽象是“特殊到一般”的过程，因而具实际是归纳推理的过程，这个过程比较直观，是

7、通过直接经验來建构新的数学概念，更贴近学生的思维水平，更容易理解。例如，中学关于四边形的概念是一个强抽彖链：四边形一⑴一梯形一⑴一平行四边形一⑴一矩形（菱形）一⑴一正方形.但幼儿对四边形概念的认识是完全相反的过程，是弱抽象的过程，在教育心理学上称为“概念形成”的过程。虽然弱抽象和强抽象的思维方向相反，但并不是互逆的，即弱抽象的产物未必能经过强抽象还原，反之依然.例如：对应一一〉一映射一⑷一函数第二，弱抽象与强抽彖和互依赖和补充.强抽彖依赖于弱抽彖，而弱抽彖又需要强抽彖的补充，不能片面地强调其中的某一个.在中小学数学教材里，一些有关的概念常常是以“强抽象链

8、”的形式表述出来，例如：自然数一⑷f正有理数一"）f有理数一⑷f实数一⑴f复数但