实变函数教材.doc

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1、目录1．数论的内容           … … …… …32．实变函数论的特点     … … …… …43．学习实变函数论的方法 … … …… …54．本教材的特色处理之处 … … …… …5第一章   集合论§１.１ 集合概念与运算 … … ……  6§１.２ 集合的势、可数集与不可数集  …13习 题                        … ……25第二章  点  集§２.１ R空间           … ………26§２.２ 几类特殊点和集    … … ……30§２.３ 有限覆盖定理与隔离性定理 … 

2、…35§２.４   开集的构造及其体积      ……38习 题                     … … ……45 第三章       测度论 §３.１Lebesgue外测度定义及其性质… …46§３.２可测集的定义及其性质… … ……48§３.３ 可测集的构造      … … ……55习 题                     … … ……59 第四章       可测函数 §４.１　可测函数定义及其性质…… ……59§４.２ 可测函数的结构   … … ……63§４.３ 可测函数列的依测度收敛… … …

3、70习 题                    第五章       Lebesgues积分理论 §５.１ Lebesgue积分的定义及其基本性质……77§５.２ Lebesgue积分的极限定理  　… …84§５.３ (L)积分的计算               ……88§５.４ Fubini定理         … … ……93习 题                       … … ……98 第六章       积分与微分 §６.１ 单调函数与有界变差函数…… …101  §６.２ 绝对连续函数      … …

4、 ……106§６.３ 微分与积分        … … ……108习 题                      … … ……112 附  录 1．不可测集                 … … ……1132.一般集合的抽象测度和抽象积分… ……1153.单调函数的可微性      绪   论1.实变函数论的内容顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函

5、只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。何以说明现有的积分范围小了呢？因为                     D(x)＝ 这样形式极为简单的函数都不可积，所以我们认为积分范围狭窄。如何改造积分定义来达到拓广积分范围的目的呢？让我们先剖析一下造成这一缺陷的根本原因在何处，只有先找准病根，然后才能对症下药。由数学分析知：对任意分划T：a＝x＜x＜x＜......＜x=b，由于任意一个正长度区间内既有有理数又有无理数，所以恒有：   S(T,D)－s(T,D)≡1－0=1如果分划不是这样呆板，这样苛刻地要

6、求一定要分成区间的话，还是有可能满足大小和之差任意小的。比如，只要允许将有理数分在一起，将无理数分在一起，那么大小和之差就等于零了。这就是问题的着眼点，首先让分化概念更加广泛，更加灵活，从而可将函数值接近的分在一起以保证大小和之差任意小。即D:E＝E[yf

7、何求mE[yf

8、(即第四章内容)。那么哪些函数才能保证形如E[yf