实变函数_周其生_实变函数试卷三及答案.doc

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1、考生答题不得超此线考生答题不得超此线考生答题不得超此线试卷三（参考答案及评分标准）一、一单项选择题（3分×5=15分）1、设，则（B）(A)（B）(C)（D）2、设是上有理点全体，则下列各式不成立的是（D）（A）(B)(C)=[0，1](D)3、下列说法不正确的是（C）(A)若，则（B）有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集(C)可测集的任何子集都可测（D）凡开集、闭集皆可测4、设是一列可测集，，且，则有（A）（A）(B)（C）;（D）以上都不对5、设f(x)是上绝对连续函数，则下面不成立的是（B）(A)在上的一致连续函数(B)在上处处可导（C）在上L可积(D)是

2、有界变差函数二.二填空题(3分×5=15分)1、设集合，则__________2、设为Cantor集，则，_0____，=________。3、设是中点集，如果对任一点集都有__________，则称是可测的4、叶果洛夫定理：设是上一列收敛于一个有限的函数的可测函数，则对任意存在子集，使在上一致收敛且。5、设在上可测，则在上可积的充要条件是

3、

4、在上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”）三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、任意多个开集之交集仍为开集。解：不成立…………2分反例：设Gn=(),n=1,2,

5、L,每个Gn为开集但不是开集.…………5分2、若，则一定是可数集.解：不成立………………2分反例:设是集，则，但c，故其为不可数集…………….5分3、收敛的函数列必依测度收敛。解：不成立………………………2分例如：取作函数列：显然当。但当时，且这说明不测度收敛到1…………5分4、连续函数一定是有界变差函数。解：不成立………………2分例如：显然是的连续函数。如果对取分划，则容易证明，从而得到…………………5分四、解答题（8分×2=16分）.1、（8分）设，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。解：在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集………………

6、……………………..3分因为是有界可测函数，在上是可积的…6分因为与相等，进一步，…8分2、求极限解：记则在[0,1]上连续,因而在[0,1]上（R）可积和（L）可积.……………..2分又………………4分……….6分且在上非负可积,故由Lebesgue控制收敛定理得……………、….8分五、证明题（6分×4+10=34分）.1、（6分）试证证明：记中有理数全体,令显然……………………………5分所以…………………………………6分2、（6分）设f(x)是上的实值连续函数，则对任意常数c，是一开集.证明:…………….1分因f（x）连续，故.………….4分即.所以是E的内点.

7、由的任意性,E的每一个点都是内点,从而E为开集.……………6分考生答题不得超过此线3、（6分）设是可测集的非负可积函数，是的可测函数，且，则也是上的可积函数。证明：，…………………1分是可测集的非负可积函数是上的可积函数.…………………..4分同理，也是上的可积函数.是上的可积函数。………………6分4、（6分）设在上积分确定，且于，则在上也积分确定，且证明：于在上积分确定，在上也积分确定，且5、（10分）设在上,而成立,,则有证明:记,由题意知由知…………2分对任意,由于从而有:…………6分又因为在上,故…………8分所以于是:故在上有…………10分