实变函数试卷一答案

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1、实变函数试卷一答案一、判断题（每题2分，共20分）1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。F2、若是可测函数，则必是可测函数。F3．设在可测集上可积分，若，则F4、A为可数集，B为至多可数集，则AB是可数集.T5、若，则F6、若是可测函数，则必是可测函数F7．设在可测集上可积分，若，则F8、任意多个开集之交集仍为开集F9、由于，故不存在使之间对应的映射。F10、可数个零测度集之和集仍为零测度集。T二、选择题（每题2分，共12分）1、下列各式正确的是（C）（A）;（B）（C）;（D）以上都不对;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（D）（A）c(B)(C)

2、(D)3、设是一列可测集，，则有（B）。（A）(B)（C）;（D）以上都不对4、设是一列可测集，，且，则有（A）（A）(B)（C）;（D）以上都不对5、设f(x)是上绝对连续函数，则下面不成立的是（B）(A)在上的一致连续函数(B)在上处处可导（C）在上L可积(D)是有界变差函数6、设是两集合，则=（C）(A)(B)(C)(D)三、解答题（每题6分，共18分）1、设，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。解：在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集因为是有界可测函数，所以在上是可积的因为与相等,进一步，2、求极限.解：设，则易知当时，又，但是

3、不等式右边的函数，在上是可积的故有3、设求出集列的上限集和下限集解：设，则存在N，使，因此时，，即，所以属于下标比N大的一切偶指标集，从而属于无限多，得，又显然若有，则存在N，使任意，有，因此若时，，此不可能，所以四、证明题（每题10分，共50分）1、试证证明：记中有理数全体,令显然所以2、设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。P513、设为E上可积函数列，.于E，且，k为常数，则在E上可积.P1334、设在上积分确定，且于，则在上也积分确定，且P1085、设在上,而成立,,则有P95