实变函数试卷13

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1、实变函数测试题11、设=(0,1/n),A2/1=(0,n),h=0,1,2...,求出集列{A」的上限集和下限集合。2、证明：/(x)为[a.b]上连续函数的充分必要条件是对任意实数c,集£={xf(x)>c}和E}={xf(x)0,兀->xo,/(xrt)>/(xo)4-^o,或/(xJ

2、(兀0)+旬，则百wE={x『(x)nc},而xq^E(因为/(Xo)

3、，F为闭集，试问E[xf(x)eG]与E[xI/(x)GF]是否是可测集,为什么?由已知则开集G可写成肓线上可列个开集的并集，即G二(J(勺,$)，■IEx

4、/(x)wG]=Ue[x%aicExf<^J)»则可知iiE[x

5、/(x)eG]是可测集。由(e[x

6、/(x)gF])c=e[x/(x)gFc],则可知e[；M(x)wF]也是可测集。证毕。7、设在Cantor集&上定义函数/(x)=0,而在儿的余集中长为丄的构成区间上定义为n5=1,2,3,…)，试证/(工)可积分，并求出积分

7、值。8、设｛九｝为E上非负可积函数列，若lim[fn(x)dx=0,则九⑴=>0。对任意c>0,由于.九非负可知：O777E[./；J>

8、/J>cr]=lim丄]fn(x)dx=0,即fn(x)=>0.证毕。9、设/(x)是E上a.c.有限的可测函数，mE<+0,存在E上a.c.有界的可测函数gCr),使得mE[f-g>0]<^o.因为/(x)是E上的a.e.有限的可测函数，设D=E[f=oo],mD=0,令Ek=E[f>k]00故启E]o£2z>£

9、3二…/)=门仗=lim£Ak=RT8所以limm^A=,7?lim^=mD=o,故/w〉o,m心，使得加£■&<£Zr—>ook—>gf(x)xeE-Ek令g(x)=g(x)=0故mEII/-g>01=mEK<£。证毕。0XGEqL」0l()^求证■1YP100[匸严严詔(严)2,(p>_1)。解答：1.解：limA”=(0,oo)；设xw(0,oo),则存在N,使xN时，n—>oo即xwA2/?,所以X属于下标比N人的一切他指标集，从而X属于无限多A「得xw雨尙7?->00又显然limA“u(0,

10、8),所以limAn=(0,oo)°HTCC/?—>oclimAn=0；若有xglimAn,则存在A,使任意n>N、有xwAn□因此若2n-l>N时，"—>8n—>ocxgA2n_],即0vxv丄.令zi—>co得0vx<0,此不可能，所以limAn=(/)o2.证明：必要性：若/(x)是[d,列上连续函数，山第二章习题8可知&和E是闭集。充分性：若d和E都是闭集。若有xQE[a,b],f(x)fkx0点不连续。则存在£o>O,£(兀)(兀0)+勺，或/(xn)

11、+^0,则xwgE={x

12、/(x)>c},而勺gE(因为f(x0)

13、)77?(AuB)-mG=m*A+m*B-mG=mA,即mQ>inA，又QuA,所以mQ