实变函数辅导答案.doc

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1、实变函数《实变函数》作业参考答案一．判断题1．对；2．错；3．对；4．对；5．错；6．对；7．错；8．对；9．对；10.对；11.对；12.错。二．1．证明：证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。2．试找出使和之间一一对应的一种方法。证明：令，做，使得，其它处，三．证明题1.设是上几乎处处有限的可测函数列，，而几乎处处收敛于有限函数，则对任意的，存在常数与可测集，，使在上，对一切，有。证明：直接利用鲁津定理。2.证明：证明是开集，事实上，对任意，则，由连续函数的局部保号性，存在，使得对一切的，有，即，所以x是内点，从而是开集。3.设在可

2、积，则对任何，必存在上的连续函数，使得证明：教材第121页例1。4.设在上，且几乎处处于上成立，试证在上几乎处处成立。证明：利用黎次定理，由在上，得到存在子列使得几乎处处成立，在利用控制性，所以在上几乎处处成立。第3页共3页实变函数5.设是的可测子集，假定中的任一点至少属于这个集合中的个，证明：必有一个集，它的测度不小于。证明：令，则，同时,在利用反证法，若对所有，有，则，矛盾。6.设在Cantor集上定义函数，而在的余集中长为的构成区间上定义。试证在上可积，并求出积分值。证明：先说明函数的可积性（简单函数的极限），7.设在上，且几乎处处成立，则几乎

3、处处有收敛于。证明：利用黎次定理，由在上，得到存在子列使得几乎处处成立，在利用单调性，所以几乎处处有收敛于。8.试从，，证明.证明：先验证逐项积分的条件成立，所以9.证明：证明：验证Lebesgue控制定理的条件成立，所以10．设，在上可积。如果对于任何有界可测函数，都有第3页共3页实变函数证明：在上几乎处处成立。证明：取，则有所以在上几乎处处成立，从而在上几乎处处成立。11.设为上非负可积函数列，若证明：。证明：反证法，先写出的否定定义，再证明结论成立。12.证明：。证明：利用，验证逐项积分的条件成立，所以13．设是直线上的一个有界集合，，则对任意

4、小于的正数，存在的子集，使得证明：令，则连续单调，且，由连续函数的介值性，存在，使得对任意小于的正数，存在的子集，使得第3页共3页