分段函分界点有关问题的讨论

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1、万方数据第34卷第1期V01．34No．1河南科技学院学报(自然科学版)JournalofHenanInstituteofScienceandTechnology2006年3月Mar．2006分段函分界点有关问题的讨论周冬林(连云港中医药高等职业技术学校，江苏连云港222002)摘要：分段函数是函数问题中难点，本文就分段函数在分界点的极限，导数、定积分的运算问题探讨一些新方法。关键词：分段函数；分界点；导数；定积分中图分类号：013文献标识码：A文章编号：1673石060(2006)01-0137-03

2、DislcussionontheProblemsabouttheBoundaryofDisjunctionFunctionZHOUDong—lin(LiangyungangTechnicalCollegeofChineseTraditionalMedicine，Liangyungang，Jiangsu，222003，Chi—na)Abstract：Thedisjunctionfunctionisdifficutinthefunctionproblems．Thistextwilltalkaboutsome

3、newmethodsaboutthelimitofdisjunctionfunctionintheboundaryandtheoperationofleadnumberanddefiniteintegral．Keywords：disjunctionfunction，boundary，leadnumber，definiteintegral对一元分段函数的讨论在许多高等数学教材里都能找到有关论述。且主要内容不外乎对分段函数的分段点(该点为区别于其他类型函数的特殊点)进行极限、连续及求导等方面的讨论。有些教材

4、甚至在多元函数中也提到了分段函数，关于分段函数的讨论也是学生学习的一个难点，为教师和同学所关注。教材中对分段点的讨论，一般都是在分段点处利用左右极限、左右导数的定义进行计算分析。这些定义运算比较繁杂，而其中有许多题目是完全不需要进行如此繁杂的计算的。本文在对分段点处极限、连续及可导的讨论中，给出一些新的方法，并进行论证。1分段函数分界点的极限例1：已知f(x)=x3—1≤x<1求x_+一1和x_1÷xx≥一，时的极限常见的分段函数，每一段上的解析式均以初等函数的形式出现．因此，当点x。位于某一子区间内时

5、，分段函数在点X。极限问题便转化为初等函数的极限。解：如图lx=±1是该分段函数的分界点，因此对于X=±1处的极限，要研究其左、右极限。。．’limf(x)=lim(X2+2x)=一1x_一l+limf(x)=lim”=一1x—+一1+x—’一1+．‘．1imf(X)=一1x—'一1+又。．‘liraf(X)=limX3=一l收稿日期：2005—12—20．作者简介：周冬林(1965一)，女，江苏连云港市人，讲师。研究方向：主要从事高职数学的教学与研究。137万方数据2006盔河南科技学院学报(自然科学

6、版)一lim一(x)_一lira；+x=虿1x=专x一一1+x一一l+二‘在x=1处f(x)的左右极限虽然存在但不相y。L{j』j一／。。I)／／IIl。。2＼70l23X图1等，所以由极限存在的充要条件知limf(x)不存在。x—+一12分段函数分界点的连续性①判断分段函数在分界点处是否有定义(即f(X。)是否存在)；②判断分段函数在分界点处的极限是否存在(注意左、右极限是否相等)，③判断极限值是否等于函数值。如上例研究f(x)在x=一1处的连续性，因为①f(X)在x=一1处有定义，即f(一1)=(一

7、1)3=一1，②limf(x)=一1，③f(一1)=limf(x)=一1，所以f(X)在x=一1处连续。当x。是分段函数在某一区间内的一点时，则f(x)在x。处的连续性问题，一般可归结为初等函数的连续性问题。如果初等函数在其定义区间上是连续的，贝U知f(X)在x。处连续。f业掣x≤1例2：讨论分段函数Y=Jx。+l【扳可x>l在x=1处的连续性。·．‘fl(x)型等半，fl(1)=0；乏(x)=√(x—1)3，f2(1)=0=fl(1)，由定理4知limy=0又y(1)=0一imy，由连续的定义知Y在x

8、=l处连续。3分段函数分界点的导数在高等数学教材里，Y=f(x)在x=x。导数的定138义是：设函数Y=f(x)在点X。某邻域内有定义，若极限lim堕生二罢生存在，则称函数y：f(x)在X0处HxoX—Xn。可导。这里x_xo包括x_÷x亍和x—xi，也即x。必须是该邻域内的点。所以一般教材不过多讨论函数在某区问端点的可导性。但对于分段函数有时需求分界点处的导数。如：fx)_【xIn，(x1<+。x胁。在x=0处是否可导?按导数的定义来求x