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1、有关分段函数问题的研究冲学数学论文有关分段函数问题的研究江苏省南京市第三高级中学周志成分段函数是函数大家族中的一个重要成员,由于它具有特殊的表达形式以及特殊的考查功能：函数分段给出，可以为多种函数的综合提供一个平台;可以与函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性、图像、最值、不等式以及绝对值函数等问题相结合来考察学生的综合能力。解题时还可以重点考查分类讨论、数形结合等数学思想，因此值得我们去研究分段函数考查的题型及方向。本文就分段函数的几种重点题型做了一些简单分析与思考。—、分段函数的相关基础知识对于自变量的取值范围的不同，函
2、数有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。同时我们应该注意以下几点：a.分段函数是一个函数，而不能误认为它是几个函数。b.分段函数的定义域是各段函数定义域的并集;分段函数的值域也是各段函数值域的并集。c.分段函数的图像是由各段函数的图像共同组成的。d.解决分段函数的常用方法：作为特殊的函数形式，处理函数问题的常用方法都可以使用在分段函数的问题中。特别强调的是〃分段函数分段画、分段函数分段求（分段求解，先分后合）〃。特别是：数形结合法和分类讨论法。e.分段函数的一些常见问题：作出分段函数的图像；求分段函数的解析式;求
3、分段函数中自变量、函数值的取值或取值范围；有关分段函数性质的综合问题等（单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即可；奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，然后再判断之间的关系。）二、分段函数与方程、不等式相结合解方程、不等式或求取值范围时，应该根据自变量的分段范围把分段函数问题转化为不同区间上的方程、不等式（组）求解，然后再取这些方程、不等式（组）解集的并集。例1：己知实数a#0,函数fx）二2x+?x<1若（—-x-2a,x^1a）二（1+a）,则a的值为。［分析］本题主要考查分段函数的函
4、数值的计算以及分类讨论的思想，首先需要讨论l+a与1的关系。解：当3>0时（1-a）<1X1+a）>1,所以（1-a）=2-2a+-3-23=（1+3）,3=—^-（舍去）；当3<0时（1-3）>1{1+3）<1,（1-a）=-1+a-2a=2+2a+a=（1+a）,a二-斗综合上述：2M-1,x^0例2：设函数（X）二JL，若（XQ）>1JlJx0的取X2,x>0值范围是・［分析］将自变量X0按分段函数的范围分成两种情况,在此条件下分别求解不等式，最后将满足条件的不等式解集进行合并。解：当X。W0时，2-1>1,则xo<
5、-1;当Xo>0时，>1则Xo>1,所以Xo的取值范围足1t+oo)o三、分段函数与图像相结合例3：己知(X)是定义在R上的奇函数。当x>0时,fx)-x2-4x,则不等式Cx)>x的解集用区间表示为解:作出fX)二x—Xx>0)的图像，如卜图1所示。V图1由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x<0的图像。不等式f(x)>x，表示函数y二f(x)的图像在y二x的上方，观察图像可得：解集为(・5,0)U(5,+8'例4：已知函数(X)二2x-1,x>0-x2-2x,x«0若函数gx)-(x)-m有
6、3个零点，则实数m的取值范用是图2解：函数fx)二绅到27x〉02x-1,x>0-x2-2x,x^0-(x+1)2+1,x^0图像如图2所示又函数g(x)=f(x)-m有3个零点知f(x)二m有三个零点(即y=f(x)图像与y=m图像有且只有3个交点，根据图像可得：实数m的〕11四、分段函数与奇偶性相结合例5:同例3.[分析]可先利用奇偶性求出函数的解析式f(x)二ix2-40)•然后再根据解析式求解分段函数的不等式。l-x2-4xx<0)五、分段函数与单调性相结合分段函数的单调性，首先要分段考虑各分段函数的单调性，
7、如果各段的单调性符合定义就可以合并,否则不能合并。女□:f(X)在[a,b]及[c,d](aVbVc1)x,+00）上单调递增，则实数a的取值范围为［分析］要使｛X）iH-00,+-）上单调递増，首先需要函数yHa-2)x-1ta-00,1］和力二log/tn1严)上各自都是增函数。
8、所以鶯>°即a>2。其次畑wy」a-2）x1-1^loga1即X3综合匕述：a&2,3］。(y2i1y>Q则满足不等式（1-x2）^2x）的x的范用是.解1（分段讨论法）:①当X.1时,1-x2<0,2x<0,则（1-x2）二1,（2x）=1o・・・(1-x2)>(2x)无解。②当-1WXC0时,1-x
