有关分段函数的分析性质的讨论

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1、冃录摘要1关键词……1Abstract1Keywords1引言11分段函数的连续性21.1用定义法判断函数在分界点处的连续性21.2用定义的£-8语言判断分段函数的连续性32分段函数在分界点处的可微性42.1利用导数定义判断分段函数在分界点处的可导性42.2利用命题“函数/(x)在兀。可导o«%0)=g)”判断分段函数/(%)在分界点x0处的可导性42.3利用导数极限定理讨论分段函数在分界点处的可导性53分段函数的可积性73.1分段函数的不定积分与定积分73.1.1分段函数的不定积分73.1.2分段函数的定积分83.2分段函数可积性的有关结论93.3典型分段函数的讨论

2、10参考文献12致谢12有关分段函数的分析性质的讨论摘要通过对分段函数连续性、可微性与可积性的讨论，不仅给出了判断分段函数是否连续、可微及可积的方法，而且讨论了几个典型且重要的分段函数（如：狄利克雷函数与黎曼函数）.通过讨论可得出分段函数在微积分中所具有的十分重要的作用:利用分段函数來判断有关命题的真假（举正、反例）.关键词分段函数分界点连续性间断点可微性可积性AbouttheDiscussionoftheAnalysisFeaturesOftheSegments-dividedFunctionAbstractInthispapeibasedonthesegment

3、s-dividedfunctioncontinuity,differentiabilityandintegrabilitydiscussion.Segments-dividedfunctionnotonlygivestheboundarypointsarecontinuous,differentiableandintegrablemethod,butdiscussedseveraltypicalandimportantsegments-dividedfunction(forexample,DirichletfunctionandRiemannfunction).Seg

4、ments-dividedfunctioncanbeobtainedthroughdiscussionsinthecalculus,whichhastheveiyimportantrole・Wecanusethesegments-dividedfunctiontodeterminewhetherthepropositionistrueornot(givepositiveandnegativecases)-KeywordsSegments-dividedfunctionDemarcationpointcontinuityDiscontinuitiesDifferenti

5、abilityIntegrability・引言在《微积分》及《数学分析》中，讨论分段函数在分界点处的连续性、可微性及可积性是相当重要的知识点.分段函数，是指当自变量在不同的范围内取值时，对应法则不能用一个公式,•丄而是用不同的式子来表示的函数，例如/(x)=xsin7,x"类似的分段函数在微0,x=0.积分理论中随处可见，并具有十分重要的作用，比如举正反例常用到分段函数，本文将对分段函数的连续性、可微性、可积性进行讨论.我们知道在讨论分段函数连续性时须利用连续的定义判断，这就告诉我们必须掌握好函数在分界点处的左、右极限，以及其与函数在分界点处的函数值、函数在分界点处连

6、续之间的关系，即左、右极限相等并且等于函数在分界点处的函数值时才连续.在各种版本的教材中，虽然例题各不相同，但在讨论分段函数在分界点可微性时都可利用左、右导数的原始定义及有关可导的充要条件来判断.但必须注意函数在不连续的分界点处一定不可导，而对于连续的分界点，函数可能可导也可能不可导.对于求分段函数的不定积分和定积分时须掌握原函数定义(FV)=/«)及其具有的连续性的性质；要掌握关于可积的有关重要结论，而且要特别注意分段函数在积分论中所体现的十分重要的作用.1分段函数的连续性分段函数是以某些点(分界点)为界用不同的表达式来表示的函数，而在各分段区间上一般是初等函数，在

7、其定义区间上连续，所以讨论分段函数的连续性实质上是讨论它在分界点处是否连续.1.1用定义法判断函数在分界点处的连续性先求/(兀)在分界点兀o处的左右极限lim/(%)与lim/(x)，再与/(兀)在此点.V—XT.寸的函数值/(x0)比较，若lim/(x)与lim/(x)相等并且等于/(x0),则f(x)在点x0•TT•石XT坊连续，否则在点兀。间断.下面对间断点进行简单讨论.间断点分为第一类间断点及第二类间断点，其中第一类间断点乂可分为可去间断点和跳跃间断点.(1)可去间断点若lim/(x)二4,而/G)在点兀0无定义，或有定义但XT勺/(兀0)北