一道“钉子题”的多角度解法溯源-论文.pdf

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1、教学参谋解法探究2014年9月一道“钉子题”的多角度解法溯源◎江苏省高淳高级中学陈绍山近几年的高考试题中，多元最值问题悄然出现在选择或填空题的把关题中，这类问题考查知识面广，涉及三—a—一—b—一-I-·÷-c=一2b一26=—2—(l＼—b—一2‘)／l。一一2Z≥一2，．则WI’I当’6，)=知识点错综复杂，学生很难寻到其“通性通法”，考试中，丢，c=丢时，一4+取得最小值学生只能“望题兴叹”，避而走之，一些优秀学生则抱着“死了都要爱”的态度，不想放弃却最终不得不遗弃，耗二、源于解析几何思想，可谓一石激起千费了大量宝贵时间．这类问题被同学们戏称为“钉子题”．层浪笔者针对此类问题进行

2、了一些寻根探究，意在抛砖引玉，和大家共同探讨．初探题目，条件和问题的代数形式都不是很难，可题目(2014年高考辽宁理科第16题)对于c>O，当人手非常困难，看~lJl2a+bl的代数形式容易联想到线性非零实数Ⅱ、b满足4一2n6+462-cm~0且使12a+bl最大时，规划中的截距形式：z=2a+b，可又纠结于可行域4a2—2+4b。=c是什么样子．在现在的考纲中，圆锥曲线的要求不4一_+的最小值为是很高，只要研究中心在原点的圆锥曲线就行了，所以DC学生不知道它代表什么曲线，其实它代表的是中心不在分析：从题目设置来看，若想轻松解答本题，必须要原点的椭圆，我们只需采用“代数换元”就知道了

3、．解决两个问题，~Pl2a+bl最大时说明什么，三个变量间的若令a=x+y，b=x-y，此时2a+b=3x+y，题中等式可化关系是什么，认清这两个问题也就抓住了问题的“心简成+一_lOAy：1因c>O，故+lO／：1表示焦点在轴脏”，进而把多元最值问题转化为我们熟悉的数学知识．来解决．上的椭圆．原题就等价于：已知+lO／：1，N-~-13+yl一、源于教材基本不等式。警惕走过路过取得最大值的条件．至此，求解方法就非常多了，利用柯全错过西不等式、三角换元法、判别式法、线性规划思想等，都是我们熟悉的，下面仅介绍本题的柯西不等式解法和解基本不等式a+b≥2、／(a>O，b>0)及其变形ab≤

4、析几何中的判别式法，其他方法不再赘述．f—a+b1z源于苏教版数学必修5，是高考年年必考的重要在苏教版数学选修4—5不等式选讲中，教材介绍了二维形式的柯西不等式，即：若a、b、C、d都是实数，则(+内容，但往往我们不能紧紧抓住“12a+bI何时取得最大”b2)(c2+)≥(ac+bd)z，当且仅当ad=bc时，等号成立．这一问题的“心脏”，导致走过路过全错过．解法2：通过以上分析，可知(3x+y)。≤解法1：[~4a2—2ab+4b2-c=(2a+b)6ab+3b2-Cm~0，得(2)=36(2)一号．26(2)+c≤(一2a2+b，t+c，[((y)2][(嘉了8c．因12a+b1=

5、13x+yl，所以当且仅当x=5y时，12a+bJ一=故(2。+6)≤警，当且仅当2。=36时取等号，此时n=寻6，r=1n^2、／警，l~Vj'a=6y，=，c=60，故一+÷=去一1学2014年9月解法探究谋12a+b=t，b=t一2a，代入条件方程得：24a2—18at+4tc=0，由=l1—8)一2≥一2，当÷，~pc=5，o=÷，6=丢时，A=-60t2+96cI>0，得￡一：．—2~v／10c12。+bl：—2VT0-c-_，_，两边三一_4+取得最小值一2．平方得c=—20aE+5b2+20ab,——一解法3：：3，f-~A4a2—2ab+46=c，得(2。一联立+：1和

6、=：3x+y,得96+10Z2-C=0()．3b)2：0，即2。：3b．不妨设口：3m，b：2m，则c：40m2三一+c8÷c=8m2一1m=18(1⋯_4)／，2≥一2，⋯此时’m=41，即’n=34，Izl~一=删5，b=12，c=丢时，一4+÷取得最小值_2．、／㈩=孚叫}=—21—0c．或评注：解法4巧妙利用I2叶6l取得的最大值，3利用12a+bl=2N／q-O~。、6、c的关系，结合已知方程，进一行代入消s,L，避免了解法3中的烦琐讨论，揭示了此题的考查核心，gPa、b、c的关系，从而能轻松获解．这种解法源于最基本的数学思想——“消元”．通过转化对多元问题l一!3X／T1~

7、进行“消元”处理．具有较强的普适性．-~2008年高考江20苏理科第11题，2011年高考浙江理科第16题，2013年高故1l6=—x／]-—o~，7_i考山东理科第12题，2014年高考辽宁文科第16题，均可I10【．I，L、l·采用这种思想解答．四、源于过往试题改编，体会“前缘未尽今当{l6、时，口一6。5(一卜生情”：以上解法溯源，我们均可以看到通过思考12a+bl取2≥一2，当且仅当c=丢时取得等号得最大时的条件，来探究a、b、c三个变