一类随机适应序列的强收敛性-论文.pdf

《一类随机适应序列的强收敛性-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第34卷第2期数学理论与应用Vo1．34No．22014年6月MATHEMATICALTHEORYANDAPPUCAnONSJun．2014一类随机适应序列的强收敛性程艳杨卫国程小军(江苏大学理学院，镇江，212013)摘要本文利用对随机变量进行截尾的方法和非负鞅的性质，证明了一类随机变量序列的强收敛性．关键词截尾法非负鞅随机序列强大数定律StrongConvergencesofSomeAdaptedRandomVariableSequencesChengYanYangWeiguoChengXiaojun(Facultyofscience

2、，JiangsuUniversity，Zhenjiang212013，China)AbstractBytruncatingrandomvariablesandapplyingthemartingaletheory，wederivesomestronglimittheoremsforsomeadaptedrandomvariablesequences．KeywordsTruncationNon—negativemartingaleRandomvariablesequenceStronglawoflargenumbers1引言设{，F，n≥0

3、}为概率空间(力，F，P)上的随机适应序列，即{F，n≥1}为F上的or一域流，且Vn有XEF．对独立随机变量序列的部分的和收敛性，著名的概率论学者Kolmogorov，Khintchine，Lo—eve，Chung和Chow等给出了一系列经典的结论(见[1，P．124；2，P．17])．1988年Jardas等在文献[3]中证明了独立随机变量序列的一类强大数定律，推广了Chung的关于独立随机变量序列的经典强大数定律．2003年刘文与杨卫国在文献[4]中利用截尾、停时以及鞅理论等证明了两类随机变量序列的强极限定理，推广了Chow的关于鞅

4、差序列的强大数定律和Chung的经典大数定律．2007年杨卫国又利用此方法获得了两类更一般的随机适应序列的强极限定理，推广了刘和杨在[4]中得到的结果以及Jardas等在[3]中得到的结果．收稿日期：2014年5月30日一类随机适应序列的强收敛性本文将利用文献[4，6]中的方法，给出一类随机变量序列的强极限定理，它是袁德美在文献[7]中的相应结论以及邱德华在文献[8]中的结果的推广，同时也Chow的关于鞅差序列的强大数定律以及刘和杨关于随机变量序列一类强极限定理的部分结果的进一步推广．2主要结果先给出一个引理．引理1设{“，n≥1}是任意

5、数列，{p，≥1}和{q，n≥1}是非负数列，且对Vn≥1，P≤q．如果∑IⅡI<+O0，则∑IMI<+。。．我们将证明以下的定理1设{X，F，n≥1}是一个随机适应序列，{0，rt≥1}是一个非降的正实数列，{()，n≥1}是定义在(一∞，+∞)上的一列非负偶函数，且当>0时，()>0，当I{单调增加时，()单调增加．设{pn,n≥1t是一个正实数列，使当II单调增加时，单调减少．取q，使q≥1(0p≤1)+Pn1(1)．记A={∞：【E(lF一)】

6、：∑[(zIFn一)]1≤k】．，if{n≥l：芝[E(J一)]>)，{n≥1：∑[E(JF)]磊1>)≠咖，i=In4-1+oo，{n≥1：∑[E(IF)]1>k)=．r^n我们有∑Z=∑l()Z．由于1()是F一-可测的，由0≤Z≤1，得：V≥1，m=1m=1^nnE(z)=E(，圳Z)=lE{∑，圳ZIF一。)=E{∑)E[Z一]}数学理论与应用^n~ItAn=E{ZE[ZIF一，])≤E{∑[E(ZIf一)]}≤后·：，m=l由于A={rt=+∞}，故m∑=1f。IZmdP=m∑=1E[1AkZ]=E{l∑Z)=E{l(：)m∑：

7、1Z)ATkAn=E圳zm)≤(zm)≤，从而dP≤

8、i}·又因为当}l单调增加时，x)单调增加，故有P(A(xn≠))=dP=，dP2(X)≤PXD()+(口)≤jl2ZdP≤2J}，由Borel—Cantelli71理知，P(AI(X≠)i．0．)=0，于是有∑(一)／a在A中me．收敛．n=l由于A=UA^，所以I∑(一)／a在A中口收敛．(2)n=l当0

9、)可知定理的结论成立．当P>1时，由条件期望的Holder不等式知一类随机适应序列的强收敛性Ic等Ec】上)≤EcIE一，由于这时有≤，由引理1得qP(l—t)在A中口·e·收敛·(3)an~