随机变量序列的几种收敛性及其关系毕业论文

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1、本科毕业论文题目：随机变量序列的几种收敛性及其关系随机变量序列的几种收敛性及其关系摘要：本文主要对随机变量序列的四种收敛性：a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究.关键字：随机变量序列收敛分布函数目录1.引言12.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系.2.1a.e.收敛的概念及性质12.2依概率收敛的概念及性质22.3依分布收敛的概念及性质32.4r—阶收敛的概念及性质53.随机变量序列依分布收

2、敛的等价条件.64.随机变量依概率收敛的一些结果95.小结.126.参考文献121.引言：在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收敛性的讨论。实变函数主要是在集合论与测度论的基础上建立起了Lebesgue积分以及它的一些性质，而Lebesgue积分的讨论中，在测度空间中关于可测函数列的各种收敛性以及它们之间的关系的讨论在理论和应用上都是十分重要的.同样在现代概率论中，其中的许多概念也是借助于集合论和测度论中的概念来定义和研究的，比如概率论中事件间的关系及运算与集合论中代数间的关系及运算是相类似的，而且在许多情况下，用集合论的表达方式更简练、更容易理解

3、，不妨设为满足某一性质的全体所成的集合，若F为的一个代数，则称为可测空间；若为F上的测度，则称为测度空间；若为F上的测度，且，则称为F上的概率测度，称为概率测度空间；由此我们通过测度论知识就得到了概率测度空间，同时引出了概率公理化定义：概率是在代数F上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数，其中为某一试验中可能的结果的全体,称为样本空间；F为随机事件全体，称为事件域（代数）；也就是说概率P是概率测度空间F上的一个测度集函数，同实变函数中的可测函数列收敛性一样，在概率论中我们有必要研究随机变量序列的收敛性，这对于概率论的学习是十分重要的.2.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—

4、阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系.在概率论中，概率空间上的随机变量就是样本空间上关于F的可测函数，对于一般的可测函数的序列我们在数学分析和实变函数中已有认识，其中“收敛性”理论是非常重要的，在概率论中也一样重要，随机变量序列有：几乎处处收敛，依概率收敛，依分布收敛，r—阶收敛.下面一一分别介绍：设和是给定概率空间上的随机变量.2.1a.e.收敛的概念及性质定义1如果有，（1.1）则称随机变量列几乎处处收敛到，记作.注意：（1.1）式中括号里的集是一事件，因而是有意义的，用集合论的语言实际上是.（1.2）定理1的充要条件是.（1.3）证明：（必要性）如在定点上有，则不能对无穷多n

5、成立.令，则，故由连续性定理及得.（充分性）由（1.2）式及上式第一等号得.注意：对可列多个概率为0的事件的和，有，即，故.由对偶原则，即得.由此及（1.2）即得.2.2依概率收敛的概念及性质定义2如果，，则称随机变量序列依概率收敛于随机变量，记作.定理2若，则.证明：由于，有，又及定理1得，所以定理得证.但是定理2的逆命题不真，反例如下：例1取，F为[0,1]中全体博雷尔子集所成代数，P为勒贝格测度，令一般地，将（0,1]分成k个等长的区间，而令定义则是一列随机变量，对任意，由于故，即；然而对任意固定，任一正整数k,恰有一i，使，而对其余的j有，有此知中有无穷多个1及无穷多个0，

6、于是对每个都不收敛.2.3依分布收敛的概念及性质定义3设均为实函数.如果有,其中x为的连续点集，则称弱收敛到，记作.例2任意取一常数列，使.令.显然，对每一有.其次，及的分布函数分别为，；但在的不连续点c上，.故.由此例可知定义3中称“弱收敛”是自然的，因为分布函数列的极限函数不一定是分布函数，为了避免这种情况，故引入如下的定义：定义设随机变量与分别有分布函数与，且，则称随机变量列依分布收敛到，仍记作.定理3设，则.证：对任意，有，由于，故对得因此；类似可证：对，有，于是对，有.如果是的连续点，令，得.但定理3逆命题不成立，反例如下：例3抛掷一枚均匀的硬币，有两个可能结果：={出现

7、正面}，={出现反面}，于是有令则是一个随机变量，其分布函数为，这时，若，则显然与有相同的分布函数.再令的分布函数记作，故，于是对任意的，有，所以成立，而对任意的，恒有不趋于0，即不可能有.在上述例子中，随机变量与在每次试验中取相反的两个数值，可是它们却有完全相同的分布函数.由此可知，一般说来并不能从分布函数列的弱收敛肯定相应的随机变量序列依概率收敛.但是在特殊情况下，它却是成立的，由下面定理说明.定理4随机变量序列的充要条件是.这里是的分布函数，也就是退化分布：.证