导数条件下函数的构造与应用

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1、高中数学教与学2013年导数条件下函数的构造与应用张军华(江西省赣州市第一中学，341000)随着新课标的实施，用导数研究函数的解由()>g()，得[／)一性质，解决与方程、不等式有关问题已是相当g(x)]>0，可知函数F(x)：)一g()为普遍．本文归纳说明如何利用已知的导数不增函数；又a<0，且g(3

2、)=0，则不等式‘外形结构’的特征，利用导数的四则运算法，()g()<0的解集是()则构造函数，利用函数的单调性等性质，可研(A)(一3，0)u(3，+∞)究两个数的大小、不等式的解或不等式的证(B)(一3，0)u(0，3)明等问题．(C)(一∞，一3)U(3，+。。)例1设函数)、g()在[a，b]上均可(D)(一∞，一3)u(0，3)导，且／()>g()，则当a<()0，．·．[，()g()]>0，故F()=，()g()(A))>g()在(一∞，0)上为增函数．又，()为奇函数，(B))

3、(0，(C^()+g(a)

4、+=,IT或仅+2／3：3,tr由上可知tan(o／+2／3)=1，故0[+=．丌’剖析该同学抓住三角变换中角的变换求出+的正切值，再抓住角的范围来求Ot以上两例都是三角变换的典型例题，三+2』9的值，问题在于角的范围缩小还不够，应角变换的关键是角的变换，但要时刻关注到进一步挖掘．角的范围，要注重对隐含条件的挖掘，防止增解．正解．．．tan：1<10<<'fir，．12．第7朝高中数学教与学一3)·g(一3)=0，根据F(x)图象，可得，设F()：掣，则F，()：)g()<0的解集为(一∞，一3)u(0，3)，故选D．￡．由已知，，()一)<0得e，例3已知)，g(x)都是定义在R上F

5、()<0，所以F()为单调递减函数．又的函数，g(x)≠0()·g(x)<_厂(x)g()，，()=a·g(x)(a>0，且a≠2013>2012，．．．<，即1)，A1mg(1)+轰÷=5．在有穷数列e．f(2013)0(已约分)．又(e)=e，构造函数F(x)=解由f()·g(x)<_厂(x)g()，得就很自然了．【筹]，<0，故为递减函。<例5若函数，()的定义域∈M

6、R，口<1．满足f()>_厂()对于定义域内的任意恒成立．由+=寻触=5，(1)比较，(a)与e0)大小；解得。=丢或2(舍)，设{告)的前n项和(2)求证：对于任意正数。，，⋯，，均有厂(1n(xl+2+⋯+))>In1)+In为s=1+1+⋯+=一>篆，所2)+⋯+In)．解(1)由-厂(。)与e0)的结构关系，以n>4，则所求概率为P=而6=了3．将其变形为与，因此构造函数F()二、利用指数函数、对数函数求导公式构造函数：拿．又，()>)，则有F，()：这类问题中条件揭示的函数关系较为隐蔽，需结合(注意)导数公式(e)=e和[】>0，．．．F()为定义域上的增函数．(1)，：的结

7、构特征，寻找和构造我们需(i)当。≤0时，有F(。)≤F(0)，且要的新函数．≤。)≤。0)；例4已知，()为定义在(一a。，+∞)上的可导函数)>f()对于∈R恒成(ii)当a>0时，有F(a)>F(O)，即立，且e为自然对数的底数，则()>'-．．。)>。0)．(A)em·，(2013)f(i=1，2，⋯，(C)em·，(2013)>em·，(2012)