亲和数的最小素因数-论文.pdf

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1、第31卷第3期黑龙江大学自然科学学报Vo1．3lNo．32014年6月JOURNALOFNATURALSCIENCEOFHEILONGJIANGUNIVERSITYJune，2014DOI：10．13482／j．issnl001—7011．2014．O1．235亲和数的最小素因数刘妙华(空军工程大学理学院，西安710051)摘要：对于大于1的if_整数n，设)是n的最小素因数。用初等方法证明了一对亲和数的最小素因数的上界，即：如果(。，6)是一组亲和数，则必有厂(。)<以及，(6)<2logb。1。g2关键词：亲和数；孤立数；最

2、小素因子；上界中图分类号：0156．2文献标志码：A文章编号：1001—7011(2014)03—0325—03TheleastprimedivisorsofamicablenumbersLIUMiao．hua(SchoolofScience，AirForceEngineeringUniversity，Xi’an710051，China)Abstract：Foranypositiveintegerrtwithn>1，letn)betheleastprimedivisorofn．Usingcer-tainelementarymet

3、hods，theupperboundoftheminimalprimefactorforapairofamicablenumbersisog2卸df(b)<2logbshown．Namely：if(。，6)isapairofamicablenumbers，thenn)

4、，b)是一组亲和数(amicablenumber)。相反，对于给定的正整数a，如果不存在满足(1)的正整数b，则称a是孤立数(antisociablenumber)。由于亲和数和孤立数与历史上很多数学难题(例如著名的完全数问题)有关，所以这两类正整数的性质一直是数论中引人关注的研究课题(参见文献[1]和文献[2]的问题B4)。对于大于1的正整数n，设．厂()是凡的最小素因数。本文将讨论亲和数的最小素因数的上界。目前已经发现的亲和数都有较小的最小素因数。例如，从文献[3]可知，所有适合min{a，bf<10如的l427组亲和数(a

5、，b)都满足max{a)b)}≤3。另一方面，Luca在文献[4]证明了Fermata数F=2+1都是孤立数，其中m是正整数；李伟勋在文献[5]证明了Mersenne数=2一1也都是孤立数，其中P是素数。由于已知F)≥2一+1(m>1)以及。)≥2e+1(P>2)(参见文献[6])，所以上述结果说明很多有较大最小素因数的正整数不是亲和数。本文将运用初等方法证明这是一个普遍的规律，即证明了以下结果：11⋯定理当正整数0适合．厂(口)≥时，口必为孤立数。收稿日期：2013—03—21基金项目：国家自然科学基金资助项目(1107119

6、4)作者简介：刘妙华(1978一)，女，讲师，硕士，主要研究方向：数论，E—mail：llmmhh419@163．corn引文格式：刘妙华．亲和数的最小素因数[J]．黑龙江大学自然科学学报，2014，31(3)：325-327黑龙江大学自然科学学报第31卷根据上述定理直接可得以下推论：推论如果(8，6)是一组亲和数，则必有。)<以及6)<21o6b。l。g2l若干引理引理1如果n=pr，-．-·p是n的标准分解式，则跏)=鱼碧2．4952当时，<1．7821oglogn+n。log1og证明参见文献[7]。引理3当n≥10m时，

7、<2．0361。glogn。证明如果正整数适合≥2．O36l。glog，l，则根据引理2可知2．O36l。gl。gn<1．7821oglogn+n2．495。由此可得2．495>(1。gl。g)。(2)从(2)可得xpexp(储)<9．5×109

8、有min{a，b}>_-10加(5)设、‘ap1．‘(6)是a的标准分解式。从(4)和(6)可知器一，以及嘲-“()。(7)七≤lo两ga。(8)根据引理1，从(7)可得=(+去·+)<垂(熹壶)=取k(-+11)。(9)因为对于任何正数，必有log(x+1)<