关于Fermat数的最大素因数.pdf

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1、第23卷第1期广东石油化工学院学报、．23No．12013年2月Joum~ofGuangdongUniversityofPetrochemicalTechnologyEeb．2013关于Fermat数的最大素因数李中，李伟勋(广东石油化工学院理学院，广东茂名525000)摘要：设=+1是第m个数，P()是()的最大素因数。运用初等方法证明了：当m>2时，JP()≥+：(m+1)+l。关键词：Fermat数；最大素因数；下界中图分类：0156文献标识码：A文章编号：2O95—2562(2013)O1—0053—02设m是非负整数，此时+1称为第m个Fermat数，记作。又设

2、P()是的最大素因数。长期以来，P()的下界与数学及其应用中的很多重要问题有关。由于已知的素因数P都满足P兰1(mod2)，(1)所以由此直接可得P()≥2+1。Ⅲ1977年，C．L．Stewart[2运用超越数论方法将上述下界改进为P()>C·2m，(2)其中c是可有效计算的常数。1998年，乐茂华具体算出：当m≥2。时，(2)中的C>1／16。由此可知P()≥2一m+1。本文将运用初等方法改进上述结果，即证明了：定理当m>2时，P()≥2(m+1)+1。证明：根据算术基本定理可知=PlP2⋯P，(3)其中Pl，P2⋯，P是适合Pl≤p2≤⋯≤的素数。此时P()=P(4

3、)从(1)、(3)可知的素因数P，P：，⋯，P分别可表成P2tl+1，i=1，2，⋯，k(5)其中t(i=1，2，⋯，)都是正整数。将(5)代人(3)可得lm=(1+2mt1)(1+2mt2)⋯(1+2mt)=1+2m(tl+t2+⋯+t^)+22m~2s)(6)其中s是适当的非负整数。因为=1十22(7)故从(6)可得22一一=(t1+t2+⋯+t)+2s(8)又因m1>3，所以2一m一1≥m+1，故从(8)可知zI+2⋯+~O(mod2)(9)由于t2，⋯，t都是正整数，故从(9)立得收稿日期：2012—06～20；修回日期：2012—07—19作者简介：李中(196

4、3一)，男，广东茂名人，副教授，主要研究方向：数论、几何等。54广东石油化工学院学报2013年tl+t2+⋯+t≥2m(10)同时，从(3)、(5)、(7)可知27肝+1=lm≥(2m+。+1)≥‘m+)+1(11)从(11)立得k≤2／(m+1)(12)将(12)代人(1o)可得2rot／(m+I)≥kt≥t1+t2+⋯+t≥2由此可知t≥2(m+1)。于是从(4)和(5)立得P()≥2(m+1)+l定理证完。[参考文献][1]Birkt~GDandVandiverHS．Onthei呲氇ldivisorsof0一bJ]．Ann．ofMath．，1904，5(2)：173

5、—180．[2]StewartCL．OndivisorsofFermat，Fibonacei，h~casandLehmernumbers[J]．Pwc．nd0nMath．Soc．，1977。35(3)：425—447．【3]LeM—H．AnoteonthegreatestprimefactorofFermatnumbers[J]．SoutheastAsianBul1．Math．，1998，22：41—44．ontheGreatestPrimeFactorsofFermatNumbersLIZhong，LIWei—xun(CollegeofScience，GuangkmgU

6、niversity0fPetroch~aicalTechnology，M∞millg525000，China)~：LetbethemthFennatnumber，andletP()bethegreatestpIiIIlefactorof．areusedtoprovethatifIll>2，thenP()≥2Ⅱl(m+1)+1．Keyw0HIs：Fennatnumber；greatestprimefactor；lowerbound(上接第36页)[5]SmartNP．AnIdentity—basedAuthenticatedKeyAgreementProtocolBased

7、ontheWeilPairing[J]．InElectronicLetters，2OO2，38：630—632．[6]ShimK．EficientID—basedAuthenticatedKeyAgreementProtocolbasedonWeftPairing[J]．ElectronicsLetter8，2OO3，39(8)：653—654．[7]DarioFiore，RosarioGennaro．MakingtheD．曲e—HeUmanProtocolIdentity—Based[C]／／TopicsinCryptolo