亲和数的最小素因数

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1、亲和数的最小素因数刘妙华0引言对于正整数，设是的所有约数之和。如果正整数和满足,则称是一组亲和数（amicablenumber）。相反，对于给定的正整数,如果不存在满足（1）的正整数，则称是孤立数（antisociablenumber）。由于亲和数和孤立数与历史上很多数学难题（例如著名的完全数问题）有关，所以这两类正整数的性质一直是数论中引人关注的研究课题（参考文献[1]和[2]的问题B4）。对于大于1的正整数，设是的最小素因数。本文将讨论亲和数的最小素因数的上界。目前已经发现的亲和数都有较小的最小素因数。例如，从文献[3]

2、可知，所有适合的1427组亲和数都满足。另一方面，Luca在文献[4]证明了Fermata数都是孤立数，其中是正整数；李伟勋在文献[5]证明了Mersenne数也都是孤立数，其中是素数。由于已知以及（参见文献[6]），所以上述结果说明很多有较大最小素因数的正整数不是亲和数。本文将运用初等方法证明这是一个普遍的规律，即证明了以下结果：定理当正整数适合时，必为孤立数。根据上述定理直接可得以下推论：推论如果是一组亲和数，则必有以及。1若干引理引理1如果是的标准分解式，则证明参见文献[6]的定理1.9.1。引理2当时，。证明参见文献

3、[7]。引理3当时，。证明如果正整数适合，则根据引理2可知。由此可得，从（2）可得，故从（3）可知：当时，必有。引理证毕。2定理的证明设是适合，的正整数。如果不是孤立数，则存在正整数满足（1），即是一组亲和数。从文献[3]的数据可知，适合的亲和数不满足（4），故必有，设是的标准分解式。从（4）和（6）可知以及，从（7）可得，根据引理1，从（7）可得因为对于任何正数，必有，故从（9）可知,又因为，所以,因此，从（4）、（8）、（10）和（11）可得。设因为，故从（13）可知。因此，从（12）-（14）可知。由于从（1）可知，所

4、以从（15）可得,以及。从（14）可知因此，从（13）、（16）和（18）可得以及。由于从（1）可知，故从（19）可得。同时，根据引理3，从（5）可知。于是，从（17）、（20）和（21）可得矛盾。由此可知：当正整数满足条件（4）时，必为孤立数。定理证毕。参考文献[1]颜松远.2500年研究探寻相亲数[I].数学进展，2004,33（4）：385-400.[2]RICHARDKG.数论中未解决的问题[M].第三版.北京：科学出版社，2007.[3]TERIELEHJJ.Computationofalltheamicablep

5、airsbelow[I].MathematicalComputation,1986,47(2):361-368.[4]LUCAF.Theanti-socialFermatnumber[I].TheAmericanMathematicalMonthly,2000,107(2):171-173.[5]李伟勋.Mersenne数都是孤立数[I].数学研究与评论，2007,27(4):693-696.[6]华罗庚.数论导引[M].北京：科学出版社，1979.[7]ROSSERJB,SCHOENFIELDL.Approximatefo

6、rmulasforsomefunctionsofprimenumbers[I].IIIlinoisJournalofMathematics,1962,6(1):1-192.