具密度制约的Holling Ⅱ类捕食收获系统的定性分析-论文.pdf

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1、第27卷第2期纺织高校基础科学学报Vo1．27，NO．22014年6月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESJun．，2014文章编号：1006—8341(2014)02—0173—04具密度制约的HollingII类捕食收获系统的定性分析郑唯唯，霍萱萱，杨萍(西安工程大学理学院，陕西西安710048)摘要：研究一类具有双密度制约的HollingⅡ类功能反应的捕食系统收获模型，运用微分方程定性稳定性理论分析了模型平衡点的性态，给出了系统极限环不存在的充分条件，利用Pontryagin最大值原理得到系统的最优捕获策略．关键词：Ho

2、llingⅡ类功能反应；极限环；Pontryagin最大值原理；最优捕获策略中图分类号：O175．13文献标识码：A。0引言对于生态系统的捕获问题，制定合理的捕获策略，有利于生物的可持续发展，对合理的开发和利用生物资源具有极其重要的意义．文献[1—5]研究一类具有密度制约及Holling类功能反应的捕食系统模型，讨论了平衡点的性态，得到极限环存在的充分条件；文献[6—8]讨论了具有捕获的捕食系统模型，分析了正平衡点的存在性和稳定性，得到系统全局渐近稳定的充分条件；文献[9—11]研究一类在功能反应下具有双密度制约的捕食系统收获模型，利用最优控制理论，得到了系统的最优捕获策

3、略，为合理制定资源管理策略提供理论依据．基于此，本文讨论一类食饵具Smith增长，捕食者具Logistic增长，同时对两种群进行捕获的HollingII类功能反应的捕食模型：f警d一T+Dx一1fl+ry衄—，’(1)l蒙===(一)+～Ey．其中，r，，，S，志，q，q，T，D，L，E均为正常数；r，S分别为食饵、捕食者种群的内禀增长率；T，L分别为食饵、捕食者种群的环境最大容纳量；触／(14-簖)为捕食者的第Ⅱ类功能反应函数；E为捕捞强度；q，g。分别为食饵、捕食者种群的捕捞系数．根据生态学意义，以下讨论均在区域一{(，)iz≥0，≥0)内进行．引理1系统(1)的解在

4、R内均正向有界．收稿日期：2013—09—26基金项目：陕西省教育厅自然科学研究项目(11JKOS02)通讯作者：郑唯唯(1962一)，女，福建省莆田市人，西安工程大学教授，研究方向为生物数学及系统优化．E-mail：zww@nwpu．edu．cn174纺织高校基础科学学报第27卷证明设z()，()是系统(1)的解．由于z一0，Y一0是系统(1)的解，故当(0)>0，(0)>0时，显然有z()>0，(￡)>o(t>O)．由系统(1)可得警≤一qlE]，由比较定理有⋯lira。。sup)≤．同理可得≤)卿3M>0，使得su)≤M．综上所述，系统(1)的解在R内均正向有界．1

5、平衡点性态分析作时间变换dt一(T十Dx)(1+)dr，并记r为t，a1一(r—q1E)T，a2一r+q1EL)，b1一一qzE，62一a(s-qzE)+，b。一s／L．为保证食饵与捕食者种群的持续生存，以下均假设a>0，b>0．系统(1)可化为fdx／dt—x(1+纰)(n1一日z)一(T+Dx)垒P(z，)．，]dy／dt—y(T+Dx)[61+b2z—b3y(1+纰)]Q(x，)．～由于系统(2)在。(。，。)处的Jacobian矩阵为J。一[6]，在E(。，鲁)处的Jacobian矩阵为ra一(／)丁0JE1一l(bl／b。)T(6。一)一61TJ’在Ez(，0)

6、处的Jac0bian矩阵为—J8～(+a)a2(、丁+Da2)，JE2=：O(T+D)(6)易得引理2．引理2(I)0(O，O)是系统(2)的不稳定结点(Ⅱ)H：当ab。blyr成立时，E(0，b／b。)是系统(2)的鞍点；(III)E2(a／a，O)是系统(2)的鞍点．定理1若系统(2)满足H。：一1／口<一b／b2

7、的正平衡点，则平衡点坐标一定满足f(1+)(口1一a2z)一(T+D：c)一0，lb1+b2．2C—b3(1+纰)===0．由于一a。<0，所以系统(2)的垂直渐近线是开口朝下的抛物线，与横轴有2个交点，交点坐标分别为A(一1，。)，B(，。)．因水平渐近线满足一一>。，即是单调递增曲线，与横轴有一个交点，交点坐标为cf—F01，0＼．所以当H和H成立时，系统(2)有唯一的正平衡点R(z，Y)．＼02／如图1所示．系统(2)在R(sc，Y)处的Jacobian矩阵为JR一“]，特征方程为z一+g—o．其中，a22J===[a(