一类两种群均有收获率的hollingⅲ类生物捕食系统的定性分析

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1、第l3卷第4期西安文理学院学报：自然科学版Vo1．13No．42010年10月JournalofXi’anUniversityofArts&Science(NatSciEd)Oet．2010文章编号：1008—5564(2010)04-0040-04一类两种群均有收获率的HollingIII类生物捕食系统的定性分析何德明，何万生，谢保利(天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水741001)摘要：对一类两种群均有收获率的具HollingIII类功能反应的食饵一捕食系统作了定性分析．利用常微分方程定性、

2、稳定性及分支理论得到此类生物捕食系统的平衡点的性态和极限环的存在、不存在的条件．对一类具有非常数收获率的食饵一捕食系统作了较为全面的定性分析，补充并完善了前人的结果．关键词：细焦点；极限环；存在性中图分类号：0175文献标识码：A0引言对于具功能反应的食饵一捕食者两种群模型：=xg()一()，=Y(一d．ise())，文献[1]对g()=rk—FN,，具HollingII功能反应且对食饵和捕食者有常数收获率的情形进行了讨论；文献[2]对g()=o+bx一，具HollinglI功能反应且仅对食饵有常

3、数收获率的情形进行了讨论．更一般地，本文将研究g(x)=a+bx—c，具HollinglII功能反应且对食饵和捕食者均有非常数收获率的模型：=(口地一嚣)-gl，20，c，d，k，，卢，q1，q2，E>0，b≥0一d+)-g2上述方程中E是对两种群捕捞强度，q，q：分别表示对两种群的收获率．基于模型的生态意义，以下讨论仅在_G={(，Y)Ix~>0，Y≥0}中进行．1化简模型f=klX令dt=(1+)d，变换后再令{Y=k2y，【dr=，d其中收稿日期：2010-03—18基金项目：甘肃省教育厅科

4、研基金(0608—04)；天水师范学院中青年教师科研项目(TSA0932)作者简介：何德明(1974一)，男，甘肃天水人，天水师范学院数学与统计学院讲师．研究方向：常微分方程定性与分支理论．第4期何德明，等：一类两种群均有收获率的HollingIII类生物捕食系统的定性分析41蔫>0，d+q2E／ka-rid-flq2E>0，而1>0，并==b一c一励E『二丽—ka一一励E’A=kaE，A=，变换后仍用，y，表示，(一卢d一g2)Tz一d一g2也模型(1)化为等价模型：f=+2+3+A4+A5一)

5、，2【=y(一l)其中，A2，A4≥O，A5<0，AJ，A3符号不定．当ka一一励：≤0时，模型没有正平衡点．以下均设一一脚：E>0．令M(x)=A+A：+3+A+A，显然要使模型(2)有正平衡点，需M(1)>0．以下讨论中均设(1)>0．2平衡点及性态易知，模型(2)有平衡点o(o，0)，M(1，A+A+A++)，先对此两点作分析令P(x，Y)=Al+A2+43+A44+A5一x2y，Q(x，Y)=)，(一1十)，模型(2)对应的一次近似系统的系数行列式记为l，，则aP8P0xlAl+2A2+3

6、A3+4A4。+5A5一2y一．，=一f2xyX2—10x引理1当A>0时，O是鞍点；当A<0时，O是稳定结点．1A．01证明在o(o，0)处，．，1：l1=一l，令P=一(A1—1)，g1=一4l，而P一4qI=(1+A1)>0．当q1=-Al<0，即Al>0时，则O是鞍点；当q1=一A1>0，即A1<0时，a)若Pl：一(l一1)>0即A<1时，O是稳定结点．总之，当A。<0时，O是稳定结点；b)若P=一(A一1)<0即A>1时，出现矛盾，所以O不能是不稳定结点；C)若P=一(A一1)=0即A

7、=1时，依然出现矛盾，所以O不能是中心型奇点．证毕．引理2当～A。+A3+2A+3A5<0时，为稳定的焦点或结点；当一A+A3+24+3A5>0时，为不稳定的焦点或结点；当一A+A3+2A4+3A5=0时：1)A4+4A5<0时，为一阶稳定的细焦点；2)A4+4A>0时，为一阶不稳定的细焦点；3)A+4A=0时，为二阶稳定的细焦点．证明在(1，A：“，“)处，J2：l2(A-A]+A3+2A4+3A5)01，令P2=一(一A1+A3+2A4+3A5)，q2=J2=2M(1)>0，当一l+A3+24

8、十3A5<0时，P2>0，则M为稳定的焦点或结点；当一AJ+A3+24+3A5>0时，P2<0，则M为不稳定的焦点或结点；当一+A，+2+3A=0时，P：=0，则M为中心型焦点．以下具体对点作中心焦点判别．令{r=五，l／z、)+n，其中o=1，Y0=M(1)=A。+A2+A3++A5，代入模型(2)，则模型(2)化为等1．yJL'／3+，，0价模型：42西安文理学院学报：自然科学版第13卷面du=丽1[A，((u)+。)+A：((“)+。)+A，((M)+。)。+A(()+。)+