一类收获捕食种群的捕食系统的研究

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1、一类收获捕食种群的捕食系统的研究：文中研究了一类捕食种群被开发的两种群捕食系统，讨论了系统平衡点的行为以及系统的稳定性，得到了闭轨不存在的充分条件，并证明了该系统极限环的存在性与唯一性，进一步分析了最优收获策略问题.关键词：捕食系统；全局稳定；极限环；最优收获.：O175：A被开发的两种群模型最一般的形式是,.(1),其中h、k是单位时间的收获量，即收获率，也可以是x、y或t的函数。对于系统（1）进行一般的讨论是比较繁杂而困难的问题[1]。本文仅就一类收获捕食种群的两种群捕食系统进行定性分析，文中所要讨论的模型如下：（2）其中均为正

2、常数，不定号，分别表示食饵种群和捕食种群的密度，表示食饵种群的内禀增长率，为密度制约项，为捕食率，收获率与捕食种群数量成正比，为抓获能力系数,为收获努力度。由生态意义，讨论在区域和上进行。1主要结论作变换：，，，变换后仍用记之，则系统（2）变为与之等价的系统：（3）其中，不定号，，下面对系统（3）进行定性分析。1.1平衡点性态分析由有或，令，有，，，方程有一个正根及一个负根.引理1系统（3）在内有三个可能的平衡点，，，其中。正平衡点存在的充要条件是。引理2（1）是鞍点；（2）当时是鞍点；当时是稳定焦结点；（3）当且时是稳定焦结点；当

3、且时是不稳定的焦结点.证明由系统（3）的变分距阵易证.1.2平衡点的全局稳定性定理1若，则在中全局渐进稳定.证明因，故系统（3）此时在中无极限环.现只需证从中任一点出发的解在中有界即可.设是从中任一点出发的解.是系统（3）的轨线，取，其中，则；取，选取，其中。可使.从而系统（3）的轨线当t增加时，均不跑出所围成的区域内，而该区域内只有系统（3）的平衡点，且局部稳定，故命题得证.定理2若，则系统（3）的正平衡点在上全局渐进稳定.证明把系统（3）变为与之等价的系统：（4）对于系统（4）在上构造Liaponov函数：显然在上是无限大定正函

4、数，且，由于所以而集合不包括除外的任何非平凡正半轨线，所以由文献[2]知系统（3）的正平衡点在区域上是全局渐进稳定的.1.3极限环的不存在性定理3若下面条件之一成立，则系统在内无环.（1）若；（2）若，；（3）若。证明（1）当时，有，从而系统在内不存在正平衡点，于是不存在闭轨.（2）假设系统（3）至少存在一个周期为T的闭轨，由于x轴，y轴均为轨线，所以闭轨必在第一象限，且.设满足的方程为则系统（3）关于的发散量：=因；.那么，但此时为系统（3）稳定的焦结点，矛盾！（3）取Dulac函数既可，其中为待定常数。1.4极限环的存在性与唯一

5、性定理4若，则系统（3）在正平衡点外围至少存在一个稳定的极限环.证明当时，则有，故在内的正平衡点R存在，且为不稳定的焦结点,由引理2的（2）知为鞍点且.下面就系统（3）构造Bendixon环域：过作直线，作直线（取）交于点B，交轴于点C，则闭折线ABCOA满足：在线段AB上有；在BC上有；又OA、OC都是系统（3）的轨线段，从而系统（3）的轨线当t增加时，均不跑出闭轨线所围成的区域，由Bendixon环域定理知，定理4得证。.定理5若，则系统（3）在内存在唯一稳定的极限环.证明令.则系统（3）变为：（6）再对系统（6）作变换：，则（

6、6）变为：（7）其中，，.利用张芷芳定理来证明系统（7）的极限环的唯一性：（1）当时，；（2）.显然在的任何有限子区间内满足Lipschitz条件，.；（3）在上连续，且。；（4）当时，，，。.于是张芷芳唯一性定理的条件全部满足，由文献[3]及定理4，定理5得证.2收获策略下面我们考虑生物种群资源的最优捕获问题，在实际管理中，我们感兴趣的是系统（3）的稳定的可持续的均衡捕获，对生物种群资源的开发，应追求经济利益和环境利益的统一，环境利益重于经济利益，任何灭绝某种生物资源的行为都是不明智的。我们以最大可持续捕获量为管理目标，可持续均衡

7、捕获量为(8)，将及R的坐标代入（8）式得：。我们的目的是寻求使得达到最大值。定理6使得取得最大值的最优捕获努力量为；相应的最大可持续捕获量为；最优捕食种群水平为.其中，，.证明令，得，解得，将代入，即可求得，.