一类基于比率的广义Holling-Tanner系统的定性分析

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1、第31卷第6期工程数学学报v01．31No．62014年12月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSDec．2014doi：10．3969／j．issn．1005-3085．2014．06．010文章编号：1005-3085(2014)06-0879-10一类基于比率的广义Holling-Tgnner系统的定性分析木刘清，李艳玲0，杨文彬f1．延安大学西安创新学院，西安710100；2．陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710062)摘要：本文在齐次Neumaun边界条件下研究了一类捕食一食饵模型正平衡解的稳定性与存在性．首先

2、，我们利用算子谱理论得到了正常数平衡解的一致渐近稳定性，其次，运用最大值原理和Harnack不等式，我们给出了正平衡解的先验估计，再次，利用积分的性质并结合e-Young不等式和Poincar@不等式，文中证明了非常数正平衡解的不存在性，最后，利用Leray-Schauder度理论证明了非常数正平衡解的存在性，并且给出了正平衡解存在的充分条件．研究结果表明，当参数满足一定条件时，两物种可以共存．关键词：广义Holling-Tanner系统；比率依赖；稳定性；存在性分类号：AMS(2000)35K57中图分类号：O175．26文献标识码：A1引言生物种群的持续生存和稳

3、定性是生物数学理论研究中的一个重要课题，并已得到了许多研究成果[卜．传统的生态模型均假定捕食者种群的平均捕食率只依赖于食饵种群的密度．近年来，大量的生物数学知识表明[一7]，基于“比率依赖”理论的捕食一食饵模型更切实际，即每一个捕食者个体的增长率应该是关于食饵和捕食者数量比的函数．随着捕食一食饵模型研究的迅速发展，Holling．Tanner系统备受广大生物数学家的关注．文献【8】研究了如下基于比率的Holling-Tanner系统J=ru(1一黄)一看，【象=[s(1一)】，给出了正平衡解全局渐近稳定的充分条件．文献【9】提出了下列单种群生长的广义Logistic

4、模型duru(K—u1一dt===]，>，并且对此模型的解曲线进行了研究．文献[10]在常微分系统下研究了如下基于比率的广义Holling-Tanner系统=：=一，【：v[s(1一)]，收稿日期：2012—11—12．作者简介：刘清(1987"-年6月生)，女，硕士，助教．研究方向：反应扩散方程及其应用基金项目：国家自然科学基金(11271236)；中央高校基本科研业务费专项资金(GK201302025；GK201303008；GK201401004)．工程数学学报第31卷给出了解有界的条件和平衡点局部稳定的条件，并且通过构造适当的Liapunov函数，得到了正平

5、衡点全局渐近稳定的充分条件．然而，根据大量的野外观察结果和实验室的试验数据，一个更切实际且更一般的Holling-Tanner系统应该是偏微分系统下的基于比率依赖的广义Holling-Tanner系统．因此，考虑如下的反应扩散方程组是很自然的如∞，=u．

6、)(1)=∈Q．一其中Q是RⅣ(N1)中具，有光滑边，界a的有界区域，12为aQ的单位外法向量，(，t)，(，t)分别表示食饵与捕食者的种群密度，K，c，m，s，h均为正常数，其生物意义见文献f111，>一1表示食饵种群对环境(包括营养资源等)利用率程度的参数，正常数d，d分别为食饵和捕，食种>群的扩散系数．齐次N

7、eumann边界条件说明系统(1)是自，，=我封闭的，即在边界aQ上食饵和捕食者的进出流量为零．系统(1)对应的平衡态问题为I—dlAu=一嚣，z∈Q，{-d2Av：[s(1一)]，∈Q，(2)l=0，=0，∈．显然，系统(2)有一个平凡的非负常数解go=(K，0)．当条件(H1)：(m+h)r>c，成立时，系统(2)有一个正常数解U=(，V)，其中u=(1一)=．本文始终假设条件(H)成立，并且只讨论0的情形，一1<<0的情况可作类似讨论．2正常数平衡解的稳定性，o=～等，^一，9。=I9(u，)=丢，9=9(，)=一s第6期刘清，等：一类基于比率的广义Holli

8、ng-Tanner系统的定性分析881当条件(Hz)：[(m+h)r—c]>c2+1)，成立时，，0<0，^<0，g0>0，g1<0，fogl—go>0．设0=Ao