基于动力系统理论的一类金融混沌系统的定性分析.pdf

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1、第34卷第2期重庆工商大学学报(自然科学版)2017年4月Vol．34NO．2JChongqingTechnolBusinessUniv.(NatSciEd)Apr．2017doi:10．16055/j．issn．1672－058X．2017．0002．009基于动力系统理论的一类金融混沌系统的定性分析张光云(重庆工商大学数学与统计学院，重庆400067)摘要:根据动力系统的基本理论与方法，针对一类三维金融动力系统，研究了该类金融动力系统的平衡点及其附近轨线的性态、解的最终界、全局吸引域、不变集等;最后，给出了相应的计算机仿真．这有助于

2、加深人们对各种金融政策的理解，该混沌系统有望应用于控制工程、图像加密、混沌电路设计等领域中．关键词:混沌系统;稳定性;奇点;计算机仿真;拓扑结构中图分类号:O241．84;O29;O242．1文献标志码:A文章编号:1672-058X(2017)02-0037-0420世纪以来，非线性系统科学得到了进一步的ìdx=z+xy－(a－k)x研究和发展，自从Lorenz系统被发现以来，其他一ïdtï些混沌系统相继被发现和研究，如Ｒssler系统，ïdy2í=1－by－x(1)Chua电路系统、Chen系统、Lü系统、超混沌MCK电dtï路系

3、统、广义Lorenz系统、超混沌Ｒssler系统、超混ïdzï=－x－cz沌Chen系统等，这些系统的动力学特性，如分岔、控îdt［1-14］其中，变量x，y和z分别代表利率、投资需要和价制和同步等也被广泛地研究．本文依据动力系统的基本理论与方法对一类格指数;a＞k＞0，b＞0，c＞0是系统的正参数，分别金融动力系统的动力学特性进行了研究．这有助于代表节省成本、单位投资成本和市场需要的弹性加深人们对各种金融政策的理解，该混沌系统有望数;kx表示平均利润率．当a=0．6，b=0．2，c=0．9，应用于控制工程、图像加密等领域中．k=0．

4、5时，系统(1)的混沌吸引子见图1．混沌系统(1)各个变量x，y和z随时间演化的图形见1数学模型及其主要结果图2．［15］一个三维金融混沌系统的数学模型为图1系统(1)的混沌吸引子图2系统(1)的各个状态变量随时间演化图形Fig．1Chaoticattractorofsystem(1)Fig．2Thediagramofallstatevariableschangingwithtime收稿日期:2016－09－14;修回日期:2016－10－23．作者简介:张光云(1983－)，女，山东临沂人，助教，硕士，从事外国语言学及应用语言学、常微

5、分方程研究．38重庆工商大学学报(自然科学版)第34卷1．1对称性和不变性点;当c－b－(a－k)bc＞0时，由中心流形定理可以知系统(1)具有对称性，即在坐标变换(x，y，z)→道，当平衡点P1，P2在正参数a，b，c，k满足条件423222(－x，y，－z)下，系统(1)保持不变．y轴为系统(1)的bc+bc－2(a－k)bc+［2(a－k)b－2－3b］c+3b=0一个不变集，并且从y轴上任何点出发的轨线当t→时，系统(1)可能出现分岔，因此平衡点P1，P2附近+∞时都趋于点(0，0，0)．轨线的拓扑结构类型变得非常复杂．1．2耗

6、散性和吸引子1．4解的最终界记系统(1)的向量场为定理1设X(t)=(x(t)，y(t)，z(t))为系统æf1(x，y，z)öæz+xy－(a－k)xö(1)的任意一个解，对任意的参数a＞k＞0，b＞0，c＞F(x，y，z)=çf(x，y，z)÷=ç1－by－x2÷0，令ç2÷ç÷ç÷ç÷2èf3(x，y，z)øè－x－czøＲ=则对于系统(1)，有ì1，b＜2(a－k)，b＜2cïb2f1(x，y，z)f2(x，y，z)ïV=++ï1xyí，a－k≤c，b≥2(a－k)4(a－k)(b+k－a)f3(x，y，z)ï=－a

7、－k－c－bï1zï，c＜(a－k)，b≥2cî4c(b－c)dv所以系统(1)是耗散的，并以指数形式=则Δ={(x，y，z)x2+y2+z2≤Ｒ2}为系统(1)的一个dt－(a+k+c+b)t最终有界集与正向不变集．e收敛，从而保证了吸引子的存在性．证明定义Lyapunov函数1．3奇点及其附近轨线的性态222V(X)=x+y+zi)当c－b－(a－k)bc＜0时，系统(1)只有唯一的对此函数沿着系统(1)正半轨线求导数:1平衡点S0=(0，，0);当c－b－(a－k)bc＜0，c+a－k－dV(X(t))dxdydzb=2x+2y

8、+2z=dtdtdtdt12＞0时，平衡点S0为稳定的汇;当c－b－(a－k)bc＜2x(z+xy－ax+kx)+2y(1－by－x)+b2222z(－x－xz)=－2(a－k)x－2by－2cz+2y10