从高考模拟试题中窥探二阶导数-论文.pdf

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1、试题研究>知识延伸数学教学通讯(中等教育)投稿都箱：sxjk@vip’63corrl从高考模拟试题中窥探二阶导数唐鹰骆妃景华南师范大学数学科学学院510000广东东莞市麻涌中学523000近几年高考试题或者模拟试题中出数g(x)的导函数．现越来越多具有高等数学微积分背景的(1)若a=l，求g()的单渊减区；考题．虽然高中试题的解法主要是基于(2)若对任意l，2∈R臼一l≠2，郁有高中所学的内容，但是作为中学数学教师，必须要对高等数学微积分中所蕴涵警)c，求实数。的取值的数学思想方法有较好的认识和把握，范嗣．要有用微积分观点去认识初等数学

2、的意分析：本题第2问实际上是要证明所识．这样才有助于我们对高考命题有全考查的函数是凹函数时a的取值范围．面、深刻的理解和把握．本文试从几个一个函数是凹函数的充分必要奈件之例子来看二阶导数在函数凹凸性、极值一是该函数的二阶导数大于0．以及不等式恒成立问题巾的运用．解：(1)略；一求利数I獬三(2)法1．由／()=十一2，依题意二阶导数与函数凹凸性可()_x2)=aXI+X2)+1．函数凹凸性定义24fXI+1-2-一-2ir．2：设函数厂()存区间，t：连续，如果对，图2(凸函数)＼2／23．函数凹凸性与二阶导数的关系a上任意两点1和2，

3、恒有厂(一-~1+I2一)c设厂()在区间[n，b]上连续，在(a，一Xl-X)<0．因为l≠2，所以“>()，即4f(xi)+f(x2)b)内二阶可导，i己厂()的导数为／()，实数a的取值范围是(0，+。。)．一则称)在，上的图象是凹，2f()的导数”()，耐”()为厂()的法2由I厂()=f+4一2，{(x)=2ax+二阶导数，那么：4．因为厂()=+乱一2对任意l，2，都有的；假如恒(1>，则(1)若在(n，b)”()>0，则_厂()在称)在，上的图象是凸的．区间[a，b]上图形是凹的；)地’，所暇凹函2．函数凹凸性的直观性(2

4、)若在(n，b)内／”()<0，贝lI厂()在数，即厂”()=2a>O，所以实数Ⅱ的取值范设函数厂()在区间，上单调递增，我区间[a，b]上图形是凸的．围是(0，+∞)．们可以这样理解。随着自变量的稳定增凹凸性作为函数的一种重要性质．然解法2比解法1简洁许多，解法加，当函数)的增量增加越来越快时，近年来很多考题都与函数凹凸性有关．1对考生的计算能力要求非常商，·ti．函数图彤是凹的：当函~Xf(x)的增量越来下面我们以一道模拟题来看二阶导数化简小剑位，本题就解／f}t来，化简越慢时，函数图彤是凸的；当函数)的与函数凹凸性的关系．是现在高

5、中生的一大弱项．这与初中弱增量保持小变时．函数图形是直线．如果例1(茂名市2013届高三一模)已知化了因式分解等知识有关，倘若学卜能f(x)在区问，上单调递减，同样可以类似1掌握函数凹凸性与二阶导数的关系，那函数g()=÷一’+22x，函数厂()是函分析．凹凸函数图象形如图1、图2所示：么这道题就会信手拈来!60投稿邮箱：sxjk@rip163corn数学教学通讯(中等教育)试题研究>知识延伸二阶导数与函数极值二阶导数与不等式恒成立综上所述，Ⅱ(一，÷1．在高中阶段，判断函数在n处是否问题例5(湛江市2013届高三一模)设取得极值并判断

6、是极大值还是极小值不等式恒成立问题是高考试题中函娄厂()=e+sin，g(x)=，F()厂()一时，经常足利用函数的导数在粕的两侧常考的内容之一，主要考查学生分析问g()．的符号来判断，通常需要列表，但列表题、解决问题的能力以及逻辑思维能(1)若a=O是F(x)的极值点，求a的相对麻烦，而且容易计算错误，特别是力，不等式恒成立问题的转化过程中出值：对于基础相对较差的文科生．常常会出现的难点主要是分离常数和最值的求(2)若30时，函数y=F(x)的图象现列表不完整、计算错误、格式书写不解，因为如果题目中涉及或者lnx时。很恒在'，=，(一

7、)的图象上方，求实数a的取规范等问题．实际上。我们可以用二阶导数的符号比较快速简便地判断Xo是函难分离常数，就算能够分离，求最值也值范围．会遇到困难，这时可以考虑用二阶导数数的极大值点还是极小值点．分析：第2问可以转化为F(x)一F(一来解决不等式恒成立问题．)>0在≥0上恒成立．定理：已知函数y)二阶可导，即例4(广东2014届高考理科数学解：(1)略；-厂”(‰)存在，而且o为y=f(x)的极值点，那么：仿真模拟试卷一)设函()=一1一一(2)令S()=，()一(—)=一e+(1)”(粕)>0，则。为y)的极2sinx-2ax，贝Ⅱ

8、S()=e+e+2cosx一2a，4、值点；(1)若a=O，厂()的单调区间；S”(=ex—e一2sinx．(2)茜厂w(勘)<0，~Ux=xo为y=f(x)的极(2)若当30时厂()30，求口的取因为S”