例谈二阶导数在高考题中的应用

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1、例谈二阶导数在高考题中的应用福州高级中学高岚龙随看高等数学的知识在初等数学屮的下放，在全国各地历年的高考题屮，出现了越来越多具有高等数学背景的考题。尽管高考题的解法主要是基于高中所学的内容，但是，微积分中所蕴涵的数学思想和经典的数学处理方法，有助于我们对高考命题的认识和把握。作为一名中学数学老师，应该强化用微积分的观点去认识高中数学的意识，才能对高考命题有深刻、全面的理解。本文以几个例子说明二阶导数在高考题中的应用。一.二阶导数与凸性定义1.设/（X）在区间/上连续，如果対/上任意两点曲与兀2，恒有胪±^）<心）+・心）,那么称/（朗在/上的图形是凹的；22如果恒有/（

2、苇鱼）>/3）;/（%）,那么称/（兀）在/丄的图形是凸的；定理1设/（X）在⑺上］上连续,在（4,方）内可导,那么：（1）若在（G上）内广（兀）单调增加，，则/（兀）在切上的图形是凹的；（2）若在（。0）内广（劝单调减少，，则/（兀）在［0,切上的图形是凸的;定理2设/（X）在⑺上］上连续,在（d,方）内二阶可导,那么：（1）若在@上）内fx）>0,则/（尢）在［讪上的图形是凹的;（2）若在⑺上）内fx）<0,则于（X）在［讪上的图形是凸的.凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中的二阶导数等知识，因此•，它不属于高中数学的研究范畴，但是，近年来

3、的高考试题中有许多与一阶导数的凸性有关的高考题。例1（2008年全国一，2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程，看作时间f的函数，其图像可能是（A）分析：我们知道，把汽车的行驶路程$看作时间/的函数，则其一阶导数是速度，而一•阶导数则是加速度。加速行驶时，加速度大于零，则二阶导数大于零，此时，函数是I叫的。减速行驶时，加速度小于零，则二阶导数小于零，此时，函数是凸的。故选A.例2.（2008年福建理科,12）已知函数y=f（xy=g（x）的导函数的图象如下图，那么y=f（xy=g（x）图象可能是XOxCD分析：由导函数的

4、图像知，广（无）单调减少，则/（X）的图形是凸的；g‘（兀）单调增加，则/（•Y）的图形是凹的。排除了A数相同，则在如点的切线斜率也应当相等。排除了E,故选D・凹凸性是函数图像的主要形状之一。结合/（x）,r（x）,rw的关系可以方便地判断一个函数与其导函数图像的关系。2例3（2006年四川埋科高考题）已知函数/（x）=x2+-+alnx（x>0）,/（x）的导函数是广（劝。对任意两个不相等的正数兀［、x2,证明：（I）当dWO时，22分析：本题实际上是要证明所考查的函数当0<（）时是一个凹函数•一个函数是1叫函数的充分条件之一是该函数的二阶导数大于0.CA证明：f（x

5、）=2x一一+-,/"（x）=2+—-4•当a<0时，对兀>0,有/'（x）>0,由定理2可知/（兀）在（0,+oo）是XXX广凹函数，再由定义知对任意两个不相等的正数丙、勺，/（召）：/（兀2）22二.二阶导数与极值在高中，判断函数是否在兀0取得极值，经常是利用函数导数在如两侧的符号来判断。实际上，还可以利用二阶导数的符号来判断兀0是否为函数的极值点。有如下的判定定埋：定理3设函数/（劝在点.兀0处具有二阶导数且广（勺）=（），广（兀o）HO,那么（1）当厂（X。）<0时，函数/⑴在叽处取得极大值；（2）当fg〉0时，函数/（x）在x0处取得极小值.例4（2008年湖

6、北文史类高考题，17）已知函数/（x）=x3+mx2-zn2x+l（加为常数,且加>0）有极人值9.（I）求m的值；解：fr（x）=3x2+2mx-m1=（3x-m）（x+m）,由ff（x）-0得x=-m,或x=-m.3/^（x）=6x+2m，则=4m>0,f-m）=-4m<0orh定理3知/（无）在x=-m取得极人值，在x=-m取得极小值。则/（一加）=加'+1=9,则m=2o利用二阶导数的符号判断函数的极值点，可以避免列表的麻烦，在证明题中特别适用。