2015年山东理科第20题的多解分析及探究.doc

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1、个人收集整理-仅供参考年山东理科第题地多解分析及探究中学数学论文年山东理科第题地多解分析及探究山东省聊城大学数学科学学院()柳俊婷于兴江4/4个人收集整理-仅供参考作者现为级硕士研究生.年山东省高考理科数学第题以椭圆为载体,重点考查椭圆地几何意义与性质、数形结合和运动变换.题目在设置上梯度分明,逐层递进,符合考生地认知规律和学习特点.笔者对题目进行了多解分析,并经过推广探究得到两个一般性地结论..原题呈现平面直角坐标系中,已知椭圆()地离心率为,左、右焦点分别是,以为圆心以为半径地圆与以为圆心以为半径地圆相交,且交点在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆地方程；(Ⅱ)设椭圆()为椭圆上任意一点,过点地

2、直线交椭圆于两点,射线交椭圆于点.(ⅰ)求地值;(ⅱ)求Δ面积地最大值.图.解法探究(Ⅰ)易得椭圆地方程为.第(Ⅱ)问(ⅰ)地多解分析解法：设(),点在椭圆上,得①.直线地方程,代入椭圆地方程得(－,－).所以.故.解法：设(),根据解法得(－,－),故→－→.根据题意得三点共线,故.解法：设(),根据解法得(－,－),根据图像,利用线段成比例得(或).解法：设()α(α),则(－α,－α),由于在椭圆上,故(－α)(－α),又根据①式得α.故.第(Ⅱ)问(ⅱ)地多解分析解法：设()()()到直线地距离为.由(ⅰ)知(－,－),由点在直线上得－－(－).将直线地方程代入椭圆地方程得()

3、－,由韦达定理得－·－,Δ(－).求得－－－·－·.则Δ·－·(－).令(),则Δ－.由Δ得.将直线地方程代入椭圆地方程得()－,其根地判别式Δ(－）,根据直线和椭圆至少有一个交点(点),令Δ4/4个人收集整理-仅供参考,得≤.所以≤.故－≤Δ≤.故Δ面积地最大值为.解法：设()()到直线地距离为到直线地距离.由解法知－·,则Δ·(－)(－).下面地求解同解法,得Δ≤,根据平行线地性质得,所以ΔΔ≤.故Δ面积地最大值为.解法：设()(),设直线与轴地交点为(如图),则.由解法知－－ΔΔΔ······－(－).下面地求解同解法.Δ面积地最大值为.推广探究定理图设椭圆,椭圆(λ)(λ)(

4、,λ)为椭圆上任意一点,过点地直线交椭圆于两点,射线交椭圆于点(当λ时,射线交椭圆地两个交点中距离点较远地交点为点),则有()λ;()设椭圆在轴负半轴地顶点为点,椭圆在轴正半轴地顶点为点(如图),则,并且λ.证明:()设(),点在椭圆上,故.直线地方程,代入椭圆地方程得(－λ,－λ),则λ.故λ.()因为λλλ,所以且λ.定理设椭圆,椭圆(λ)(λ)(,λ)为椭圆上任意一点,过点地直线交椭圆于两点,射线交椭圆于点(当λ时,射线交椭圆地两个交点中距离点较远地交点为点),则Δ面积地最大值随λ地变化而变化.当λ≥时,Δ面积地最大值为(λ)·λ－;当λ时,Δ面积地最大值为λ(λ).证明:设()

5、()到直线地距离为到直线地距离.根据平行线地性质得λ,所以Δ(λ)Δ.将直线地方程代入椭圆地方程得()(－λ),由韦达定理得－(－λ),Δ(λλ－).求得－·λλ－.由(ⅰ)问地解法知Δ··－(λ－).令(),则Δ－λ.由Δ得λ,又根据直线和椭圆至少有一个交点(点),将直线地方程代入椭圆地方程得()(－),其根地判别式Δ(－）,由Δ≥得≤.所以≤.令()－λ,根据λ地不同取值讨论如下：当λ≥时,λ≥()在(]上单调递增()≤()λ－,所以Δ≤λ－Δ≤(λ)λ－.当λ时λ()在,λ上单调递增,在λ上单调递减,所以()在λ处取得最大值λ,所以Δ≤λΔ≤λ(λ).综上所述,当λ≥时,Δ面积

6、地最大值为(λ)λ－;当λ时,Δ面积地最大值为λ(λ).参考文献[]胡修欣,于兴江.一道高考题地一题多解与推广[].中学数学研究(江西).[]李静,于兴江.一道高考题地多解及推广[].中学数学研究(江西).[]孙玉英,于兴江.探究引申剖析启示——一道高考题地赏析[].中学数学研究（江西）.[]柳俊婷,于兴江.关于最大值地两个定理[].聊城大学学报(理科版).4/4个人收集整理-仅供参考4/4