一题多解20三角函数

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1、题目:求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值.解法一：【拆角后，利用和角的余弦公式直接展开】因为40。=30°+10°,£c°sl0冷曲10。所以原式=sin210°+cos2(30°+10°)+sin10°cos(30°+10°)sin210°+(—coslO-丄sin10°尸+sin10°22=-(sin210°+cos210°)=-.44二+/冬眄D—士助/心：5诃。»洋应）D°-土砌仍-"7。十i心/『-吳还丿。勺”/0。+立5州0淹迅/o°-创1乩好临二伞小。+去如0。二号物亦1/D。解法二：【降次后，利用和差

2、角的正余弦公式展开】原匕竺竺+1^00880：+血

3、cos40。22+sin10°cos40°]Icos(50°+3(T)—cos(5(r—30")+2=1+“50“30-仙50sin30“50“30-血50sin30十亦j°。cos旳2=1-sin50°sin30°+sin10°cos40°=l-cos40°(sin30D-sinl0°)=l-cos40[sin(20°+10°)-sin(20°-10°)]=1-2cos40cos20sin10_]2cos40°cos20°sin10cos10cos10°sin80°(134cos10"44解

4、法三：【代数换元法】今Jsin1O'=a+b,Icos40°=a-b,a=~(sin10+cos40")=*(sin10+sin50)=sin30cos20=+cos20°,&=-(sinlO°-cos40°)=-(sin10°-sin50°)=cos30°sin(-20°)=-—sin20°,222则原式二(a+b)2+(a-b)2+(a+b)(a-b)=3a2+b2=-cos220°+-sin220°=-.444解法四：【构造对偶式】设x=sin210：+cos240°+sin10°cos40°,y=cos210°+sin240z+cos1

5、0°sin40°,x+y=1+1+sin10cos40+cos10sin40=2+sin50°=2+cos40则111j?=cos80-cos20——=-sin50——=-cos40——.I22233所以2x=-,=24解法五：【利用正余弦定理】由余弦定理,得a1+b2-2abcosC=c2f又由正弦定理，得===sinAsinBsinC于是47?2sin2A+4/?2sin2B-2-27?sinA-27?sinB-cosC=4/?2sin2C,得sin，A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C故sin$10°+cos240°+

6、sin10°cos40°=sin210+sin250+sin10sin50=sin210°+sin250-2sinl0sin50°cosl20J520占斗善【冷出睢善

7、1

8、京>"與】(sin10。ICOS40XSS-2一0+COS240。+sinlo。cos40)Sh?loolcos340=sin1001cos400&sin3aU3sinal4sirpa・cos3aU4cos"al3cosa^3sin1orsin30=cos120。+3cos40。3(sm100—cos40=)3丘S5-2一0+cos〕40+sh二0cos40HP