理论力学一题多解

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1、1、重为P、半径为r的均质圆柱，沿与水平面夹角为的悬臂梁无滑动地滚动，求当滚到距离O点为s时固定端O的反力。范例1图[解法一]由达朗伯原理(动静法)求解，将圆柱的惯性力系向圆柱质心C简化。圆柱质心加速度aC(未知)，因系不滑动地滚动，故角加速度。于是惯性力系主矢大小为Fg=maC，方向与aC相反，作用在质心。惯性力系主矩大小为，方向与角加速度相反。系统由圆柱和悬臂梁组成，每部分均属平面任意力系，故可建立3个平衡方程。系统中涉及6个未知数，即固定端O处的约束反力FOx、FOy、MO，圆柱与梁接触点A的约束反力FA与FNA,以及加速度aC。方程总数与未知数个数相等，

2、可解。(1)(1)   取圆柱为研究对象，其受力图如图(b)所示。由达朗伯原理(动静法)，有∑(F)=0,即解得96(2)以整体为研究对象，其受力图如图(c)所示。∑(F)=0,即解得∑=0,所以∑=0,[解法二]联合应用动能定理和达朗伯原理(动静法)求解。因为惯性力系主矢大小为Fg=maC，，而圆柱质心加速度aC是未知的。如果应用动能定理先把aC求出来，那么，求固定端的约束反力时，就不必像解法一中那样，先以圆柱为研究对象，再以整体为研究对象求解，因为当把aC求出后，整体中有固定端的3个约束反力未知，用3个平衡方程即可求出，由动能定理求圆柱质心加速度aC。设圆柱

3、初始静止于O，当圆柱中C移动距离s时，有即上式两边对时间求导数，有因C点轨迹为直线，所以，又所以96以整体为研究对象，其受力图如图(c),平衡方程详见解法一。[解法三]应用动力学普遍方程求解。以圆柱为研究对象，设当圆柱中心C沿悬臂梁移动s距离时。质心C的加速度为aC，因圆柱只滚不滑，故其角加速度。将圆柱的惯性力系向其质心C简化，其主矢为maC，主矩，其方向如图(d)所示。解除圆柱的约束，代以约束反力，并将其视为主动力。此时圆柱具有3个自由度。取D点的坐标x、y及转角为广义坐标，其虚位移的方向如图(d)所示。令，，由动力学普遍方程，有，因，且，，故有解得令，，则有

4、因，于是有令，，则有以悬臂梁OB为研究对象，其受力图如图(e)所示。∑=0，所以∑Y=0，96∑(F)=0,[解法四]应用功率方程和质心运动定理求解。以圆柱为研究对象，设某瞬时圆柱中心C的速度为vC，因圆柱只滚不滑，故其角速度，于是圆柱的动能为功率∑由功率方程∑，有即因为C点的轨迹为直线，故，于是有取坐标轴如图(f)所示，由质心运动定理，有以悬臂梁为研究对象，其受力图如图(g)所示。由静力学平衡方程，有∑=0，所以96∑=0，∑(F)=0,，2、均质圆柱体A的质量为m，半径为r，在外圆上绕以细绳。绳的一端B固定不动[范例2(a)图]，将圆柱体从初始位置无初速释放

5、。求当圆柱体的质心C下落了高度h时，质心的速度和绳子的张力。范例2图 [解法一]应用平面运动微分方程求解。以圆柱为研究对象，其受力图如图(b)所示。由平面运动微分平衡方程，有(1)(2)(3)由式(1)，有A点为圆柱的速度瞬心，所以，，故由(3)式有(4)96即将(4)式代入(2)式，有 所以因为常数，且C点的轨迹为直线，故C点为匀变速直线运动，它的速度可由匀变速直线运动公式求得。因题设，所以，C点速度为由(4)式求得绳中的张力为[解法二]分别应用动能定理和质心运动定理。设圆柱从静止开始到质心C下降高度h时，质心C的速度为vC，因为A点为圆柱的速度瞬心，故有。质

6、点系的动能为力的功∑由质点系动能定理∑，有(1)所以将(1)式对时间求导数，有因C点的轨迹为直线，有96，于是有由质心运动定理[范例2(b)图]，maCy=∑Y,有[解法三]应用功率方程和相对于质心的动量矩定理求解。设圆柱从静止开始到质心C下降高度h过程中某瞬时，质心C的速度为vC[范例2(c)图]，因为A点为圆柱的速度瞬心，故有。质点系的动能为功率∑由功率方程∑，有即因C点的轨迹为直线，所以于是有因为常量，故C点为匀变速直线运动。由其中，求得由相对于质心的动量矩定理[范例2(d)图]，有96，故[解法四]应用达朗伯原理(动静法)求解。设某瞬时圆柱质心C的加速度

7、为aC,角加速度为，因A点为圆柱的速度瞬心，故有将圆柱惯性力系向质心C简化，其主矢为maC，与aC相反，主矩为，与相反[(e)图]。由动静法，有∑(F)=0,式中，，，故有解得∑Y=0，所以因为常量，且C点的轨迹为直线，故C点为匀变速直线运动，用匀变速直线运动公式式中，得[解法五]应用动力学普遍方程求解。以圆柱为研究对象，解除约束，代以约束反力，并将其视为主动力。因C点被限制在过C点的铅垂直线上运动，故系统具有两个自由度。取广义坐标为yA、，虚位移为，圆柱的惯性力系向其质心C简化，其主矢为maC，方向与aC相反，主矩为，与相反[范例2(f)图]。96令，，由动力

8、学普遍方程有，式中，，故