圆与椭圆交点问题的求解与思考

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1、投稿都精：sxjk@vip163corn数掣}葺Ii皂通讯(教师版)L⋯⋯一'_一⋯一一_一试题研究>试题探究圆与椭圆交点问题的求解与思考张长雁甘肃永登第二中学730302的～趟质一引～她训～不一趟一通常．我们把两曲线的交点问题转因为A=36(4a2+25)>0，所以0E(一∞，+∞)．9a化为求方程组的公共解问题．这种方法故选A一5

2、、符合我们解题的思维习惯。但是也容易形冲突当。=±7时，圆(x-T-7)=9与＼f(3：⋯⋯成思维定式，产生一些难以觉察的错误．椭圆等+孚=1无公共点．(如图1)／／：假如我们善于利用这些“错误”创设教学J3l＼D情景．引发学生的认知冲突，暴露思维

3、的过程，同时进行启发、点拨、引导和拓展，．厂。、．图2就会有利于学生严密逻辑思维的形成，也，()与轴交于两点．当一3或3时，方有利于学生思维深刻性、广阔性以及学生图1探究能力的培养．因此．我们不可低估数~f(x)-O；fE[-3，3]上只有一根．学化归思想对促成数学思维的作用．当zPi"~f(x)-O在[-3，3]上只有一根然．在具体的解题情景下，两曲线的交点分析讨论，解剖错因问题亦可以用数形结合方法来解．以数一一一讨论一方一程5X2-18ax+9一45：0在E厂(一3)3)≤0∈[-6，6]．(如图3)形结合思想为指导，动态地观察两曲线的R时有解，能否在E[一3，3]时有解?Y

4、位置关系，破解问题，获得答案．这就要错因忽视了隐含条件∈[-3，3]，求我们合理调整思维视角，尝试用不同的∈[一2，2]．方法解决问题，培养思维发散性、灵活性剖析方程组有解。说明公共解一-厂(一／。和敏捷性．进而培养创新能力．现就上述定满足两个方程，即必须∈[一3，3]，y∈一3：＼O两种不同的解题情况分析如下：『一2，2]．一-X；／．因此，原命题l厂()=o在[一3，3]内有根．呈现问题。创设情境图3综合l、2知8∈[-6，6]．故选R例若圆(咆)9与椭圆等+孚=●整理归纳，探究正解正解二：画图，结合图形观察．当动1有公共点，则实数n的取值范围是()正解一：圆圆心(口，0)落

5、入区间[_6，6]内时，两1．方)=0在[一3，3]上有两根甘A．(一∞，+)B．[-6，6]曲线定有交点．3)>0，／~afi[-6，6]．故选R(如图4)c．n>0，∈(如图2)∈(-3'3)一厂、＼＼厂、／／，、lilt，引发冲突疑惑为何醐直线一9=aI∈(-3，3)，～八竺!／错解⋯’圈4荆[-3，3]?疑惑当圆肘在椭圆内部运动时。是#iy~5x-18ax+9a2--45--0，F)=Q否一定与椭圆有交点?57试题研究>试题探究，～一⋯1‘一⋯⋯一一数学教学通讯(教师版)投稿邮箱：sxjk@vip．163，Corn释疑因为椭圆短半轴长小于圆综上，n∈[一5，5]-y的半径

6、，所以圆在椭圆内部运动时，两Y曲线一定有交点．，，，、＼t／／一。、，一’．．、：，，0—／3＼、、一5一，；；f总结反思，延伸拓展一3：＼／图111．反思g(3、＼一一i!．／；正解一虽然烦琐，但综合了曲线方(2)若圆(_0)1与椭圆等手1程以及一元二次方程根的分布等知识．有公共点，求实数。的取值范围：若无公共这些知识是高考重点考查的知识点．我图6点．求实数。的取值范围．两种情况下．两们不能就题做题，陷于题海；或者因其复若两曲线无公共点．则为原命题的条曲线有怎样的位置关系?杂而轻易地抛弃这种解法，而应充分发挥逆否命题．f(川)1，该题的综合及整合作用，梳理知识，拓展故得。∈(一

7、∞，-5)U(5，+∞)．分析意知孚_1，知识．这样更容易使学生由知识积累向由上述分析知两曲线位置关系如下：能力发展迁移，有利于学生数学思维深刻得52_18似+927=o．I．相交性、广阔性、逻辑严密性以及数学探究能即q()，且△-36(缸z-15)≥Q①当0∈(一5，一1)u(1，5)或a=0时，两力的培养．当该题转变为解答题时，仍不f(_n)1，曲线有两个公共点(如图7)失为一种好的方法．对选择题而言，正解V两曲线有公共。羔甘l手+孚=1二更迅捷、更有效．同时，正解二体现了一、、，，一在∈[一3，3]，Y∈[-2，2]有解数学思想对解决问题的指导作用，对学生．)：0在[一3，

8、3]上有根数学思维灵活性、敏捷性以及批判性的培L；、，一、养有着重要的意义．、甘方程()=o在[_3，3]上有两根或一根2．拓展图7g(3)>0，(当0∈(一1，0)U(0，1)时，(1)若圆_Ⅱ)与椭圆等+：1g(_3)>0，两曲线有四个公共点(如图8)有公共点，求实数。的取值范围；若无公共∈(_3'3)，2点，求实数。的取值范围．两种情况下，两△≥O条曲线有怎样的位置关系?、、、f，～f()，＼、二、三王!Ii9了a。一分析意知孚＼：■⋯一一／图8；＼：／：消’，得52-l8