利用导数巧解三角函数题

《利用导数巧解三角函数题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、高中数学教与学2015叠。解题思路与方法。利用导数巧解三角函数题李文东(广东省中山纪念中学，528454)导数是研究函数性质的一个很重要的工解法2由2sinO／+COSO／=一平方得具，利用导数可以很容易解决函数的极值、最4sin+4sin5~cos+COS2O／=5sin+值和函数的单调性等问题，其中，当然也包括5cosO／．即三角函数的相关问题．但由于教材上导数出si’nO／一4sinO／COS+4cosO／=0．现在三角函数的后面，且新课标降低了对三也即(sin一2cosO／)：0，角函数的要求，解三角方程和三角不等式又从而sin=2cos，是学生学习的难点，利用导数并不能带来实故tan

2、：：2．质的好处，从而限制了导数这一工具在三角COS函数中的作用．然而，我们若能注意到三角函以上这两种解法都是常规解法，虽然不数的特殊性，适时的运用导数这一工具，则往难想到，但是运算量都比较大，下面给出导数往能够达到意想不到的效果．本文略举几例解法：加以说明．解法3令-厂()=2sin+COS=一、三角函数求值√5sin(+)，由2sinOt+COSO／：一√s，知我们知道，形如Y=Asin((￡，+)+k(Y_厂()在=O／处取得最小值，于是_厂(O／)==Acos(+)+k)的三角函数，()对称性2cos—sin=0，从而sina=2cos，故有其特殊性：对称轴=‰处必为极(最)值tan：

3、：2．点，从而／(。)=0．注意到正(余)弦型函数COS与生俱来的这一属性，有时能简化三角函数评注导数解法是通过观察2sinO／+问题的求解过程．COSO／=一√S的特征，从而构造函数)=椤01已知2sinO／+COSO／=一√5，贝0tanO／2sin+COS，几乎可以口算出结果，可谓别出心裁!解法1由2sina+COSO／=一√s，得例2如果函数Y：sin2x+acos2x的图CO8=一一2sinO／．象关于直线=一詈对称，则n=一又sinO／+CO$O／=1，得解法1函数的解析式可化为Y=sina+(一√一2sin)=1，n+1sin(2x+)，故lYl的最大值为于是5sinO／+4si

4、no／+4=0，即(~-sinO／+2)=0，．依题意，直线=一詈是函数图象解得sin=一2从而c。s=一i的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值，·点，即isin(一詈)+。c。s(一)I=雨，故tan：：2．解得a=一1．·18·第朝高中数学教与学解法2(导数法)求导得Y：2cos2x一特殊角求出这个常数即可!2asin2x，于是证明构造函数口)=sinasin2~+yI一詈=2⋯(一詈)(一詈)COScos卢一-=1cos2acos2卢，贝：0．a=一1．f()=2sin0ccosasinJ8例3已知函数_厂()=sin(+)+—2cosotsincos卢+sin2~cos=sin2a(

5、sin一COS卢)+sin2acos~~cos(x一0)(0∈[0，])为偶函数，则0==一sin2acos2卢+sin2acos2p=0．解法1由)是偶函数，得故)为一常数，而0)=COS卢一／)=／一戈)，即sin(+0)+cos(一0)号c。s=c。sJB一号(2cos2~一1)=1．=sin(一+0)+√3cos(一一0)，所以sin。asin+COSncos·．．[sin(+)+sin(—)]一丢c。s2c。s=1．+[COS(~一0)一COS(X+0)]=0，例5根据公式sin3=3sin一4sin·．．2sinXCOS0+24~-sinxsin0=0．推导出相应的COS3a的公式

6、．要使此式恒成立，需解分别对等式sin3a=3sin一4sinOt2cos0+24~-sin0=0，两边求导，可得3cos3=3cos一12sin。0[cos即tan0：一拿．．即COS3a=COS一4(1一COS)COS，又因为0∈[O，霄]，故0=5,f．从而得到公式cOS3=4cos一3cos0c．解法2(导数法)因，()是偶函数，其三、求三角函数的最值图象关于Y轴对称，即直线=0为，()的对称轴，于是对)求导，得()：COS(+例6求函数)=+—(。，b0)一sin(一0)，从而f(0)=0，即>0，∈(0，詈)，n∈N)的值域．COS0+sin0=2sin0+詈)o·解对函数)求导，

7、得，()=一—n_a—co丁s—x+—n—b—sin丁一x因为0∈[0，1T]，故0=．以上三例可以看出，若能恰当地运用导bsin“一n口COS“—一’数的知识，则可以为我们的解题带来极大的方便!令，()=0，得bsin—acos=0，二、证明三角恒等式·例4证明：sinasin2fl+COS。cos一．．tann+2x=詈，．-．t⋯=(詈)．1c。s2c。s2~3=了1为方便起见，记满足上述方