利用导数巧解“隔离直线”与“相依切线”.pdf

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1、三磕一^zo9百鞠鞠利用导数巧锋“隔离直线”与“相依切线"■江苏省东海高级中学熊如佐一隔离直线如果问题中给出了两个函数问的大小关，已知函数f(z)和g(z)，若存在常数是系，即恒成立时，可一步到位——采用作差构和b，使得函数f(z)和g(z)对其定义域内造新函数，然后再采用导数法(前提是用导数的任意实数．27分别满足／’()≥忌z+b和法便于判断新函数的单调性)证明。g(z)≤尼Lz+6，则称直线l：一kx+6为函数思路一：解出公共点，设l：t：l过该点的直线f(z)和g(z)的“隔离直线”。方程。根据满足题意的条件求t：l：

2、l直线方程问题思考一：隔离直线“隔”在何处?如倒，设函数f()一1z，g()一何寻求“隔点”?根据“隔离直线，，的定义，对其定义域内lnz。试探究-厂(z)与g(z)是否存在“隔离的任意实数，厂()≥忌+6和g()≤是直线”。若存在，请求出“隔离直线”的方程；+6同时恒成立，结合函数的图像，曲线厂()若不存在，请说明理由。和g()上的点完全分布在直线一是+6分析：求出函数_厂(z)与g(z)图像的公的两侧。因此，根据题意来理解，如果两个函共点，并设出过该公共点的直线的点斜式方数图像存在公共点，则该公共点就应成为解程，根据题意将

3、问题归结为不等式恒成立问题的关键。题，利用单调性(导数法判定)求解并证明。问题思考二：如何突破此类创新题?解：设F()一-厂()一g()一z一根据题意，函数f()和g(z)对其定义。域内的任意实数分别满足-厂()≥是+6eln，则F(z)一z一昙===一和g(z)≤愚z+6，问题即为两个恒成立问题，(一)(+)所以只要找出隔离直线，剩下的就可以利用导数解决恒成立的相关问题了。J问题思考三：如何利用导数解决恒成立、，e口问题?因为一_厂()一g(z)一_厂(z)+(2-x)一根。b，所以一厂(z)一g(z)恰有4个零点等价于方6

4、一。有4个不同／-删一1．。b与函数一(+一：／y=)+1f(2一)的图像有-8"～一。‘2，由图像可知<6<2。图。②当g(z)一～f(z(2)因为I-厂(z)+g(z)『一1，所以g()知，此时—g(z)与一一一一f(x)4-1或g(z)一一，(z)一1。有2个交点，即g(z)=：：一①当g(z)一一厂()+1时，由图3可根。知，此时Y—g(z)与一一-厂(z)+1的图像综合①②，可知方程有有2个交点，即g(z)一f(3c)+1有2个实(17因此，当z一时，F()取得最小值0。解：(I)由，(1)一g(1)，f(1)一g(

5、1)，所以，()-Ug(z)的图像在z一处有得{。一h解得。一6—1。则F()一公共点，号)a．厂()-g()一zz一1nz—，利用导数法可设f(x)与g(z)存在“隔离直线”，方程得F()的极小值为F(1)一0。为一一是(一)，即—kx+导一是。Ⅱ因，z与g有一个公共点‘’1)，而函数_厂()一X在点(1，1)处的切线方由，(z)≥惫z+专一是在xER上恒成程为一2x—l^，ff(z)≥2x～】．立，则X。-2kx-e+2k>／o在∈R上恒成下面验证{，、／。都成立即可。立。所以△一4k。一4(2kuf~一e)一4忌一8愚√

6、+由X2—2z+1≥o，得X2≥2z一1，知4e-~4(k—)≤o成立，因此k一√e。厂()≥2z一1恒成立。设h()一1nz+一下面证明g(z)≤X--5-(x>o)恒成立。(2x-1)，即h(z)一InX～X+1，易知其在g．a(O，1)上递增，在(1，+oo)上递减，所以h(z)设G(x)一elnz～+导，则G()一一ln+z一(2一1)的最大值为h(1)一0，广．，厂．、所以Inz+X≤2x—l恒成立。故存在符合詈一一√一。所以，当00；当z>时，G，(z)<0。

7、因评注：如果两个函数存在隔离直线，其思此，当一时，G()取得最大值o，则g()考步骤可以为：①求出两个函数图像的公共点；②求出过公共点处曲线的切线；③证明该~％／rex一号(z>o)恒成立。切线即为隔离直线。故所求“隔离直线，，方程为一X一。．二相依切线对于函数图像上的不同两点A(，Y)，评注：寻求隔离直线的关键：首先，找出B(，)，如果在函数图像上存在点M(z。，两个函数的公共点，可以采用构造函数'利用。)(其中。∈(，。))使得点M处的切线函数的单调性寻求函数的零点，得出公共点z∥AB，则称直线AB存在“相依切线”。特其次

8、，将过公共点的直线设成点斜式，代入已知条件，能同时使两个不等式恒成立的直线，别地，当zo一==。时，又称直线AB存在即为所要求的隔离直线a。中值相依切线”。思路二：求出过两曲线公共点处的切线-问题思考：如何解决直线的“相依切线，，则该切线即为“隔离直线”问题?倒2函数厂(z)