构造_直线隔板_巧解导数题中的不等式问题_陆勇.pdf

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1、３４中学数学教学２０１６年第２期檪檪檪檪殏殏檪檪解题檪构造“直线隔板”巧解导数题中的不等式问题檪檪方法檪殏殏檪檪檪檪安徽省合肥一六八中学陆勇（邮编：２３０６０１）摘要导数压轴题中出现不等式问题是常见题型，但是，如果指数与对数形式并存，则会因函数差异过大带来解题困难，设想如果构造一条直线作为“隔板”，利用不等式的放缩思想，将指数形式与对数形式并存的形式拆分为指数形式与一次函数并存及对数形式与一次函数并存的形式，化陌生为熟悉，会极大降低解题难度．关键词构造；直线隔板；放缩；不等式２０１６年合肥市第一次教学质量检测的文科这种想法提供了可能．及理科数学

2、试卷压轴的两道导数题，设计精巧，第一问较为简单，可求得函数ｆ（ｘ）在点（１，对图象的细致分析要求很高，但由于难度颇大，ｆ（１））处的切线方程为ｙ＝（ｅ－１）ｘ＋１．学生感觉求导后深入困难，导致得分率很低，平我们以此切线为“隔板”解决第二问：设均得分不到３分．笔者试图以直线为“隔板”，利ｈ（ｘ）＝（ｅ－１）ｘ＋１，将ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ）对任意ｘ用不等式的放缩方法，给出全新解法．∈（０，＋!）恒成立转化为ｇ（ｘ）≥ｈ（ｘ）及ｈ（ｘ）１原题及难点分析≥ｆ（ｘ）对任意ｘ∈（０，＋!）均恒成立．详解２０１６合肥一模文２１题原题如下：已知函数如下：ｘｘ２因ｇ

3、（ｘ）≥ｆ（ｘ）对任意ｘ∈（０，＋!）恒成ｆ（ｘ）＝ｅ－ｘｌｎｘ，ｇ（ｘ）＝ｅ－ｔｘ＋ｘ，ｔ∈Ｒ．立，故ｇ（１）≥ｆ（１），即ｔ≤１．（Ⅰ）求函数ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线可知ｔ≤１为ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ）对任意ｘ∈（０，方程；＋!）恒成立的必要条件．（Ⅱ）若ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ）对任意ｘ∈（０，＋!）下面证明ｔ≤１为ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ）对任意ｘ∈恒成立，求ｔ的取值范围．（０，＋!）恒成立的充分条件．因ｔ≤１，故ｇ（ｘ）＝ｅｘ２ｘ２忽略第一问，我们分析第二问，题面中，指数－ｔｘ＋ｘ≥ｅ－ｘ形式与对数形式并存，这是学生感到无从下手的＋ｘ，设ｈ（ｘ

4、）＝（ｅ－１）ｘ＋１，构造函数Ｇ（ｘ）＝ｅｘ２ｘ主要原因，无论是解题心理还是变形过程、图象－ｘ＋ｘ－ｈ（ｘ）＝ｅ－２分析都有相当的压力．ｘ＋（２－ｅ）ｘ－１，ｘ∈［０，＋!），易知Ｇ（０）＝ｘ其实，问题的本质是不等式恒成立问题，只Ｇ（１）＝０，因Ｇ′（ｘ）＝ｅ－２ｘ＋２－ｅ，Ｇ″（ｘ）＝ｘｘ不过，在研究过程中，我们是以导数为研究手段ｅ－２，由Ｇ″（ｘ）＝ｅ－２＝０解得ｘ＝ｌｎ２．而已．不等式的本质是不等关系，放缩法是研究可知ｘ∈（０，ｌｎ２）时Ｇ″（ｘ）＜０，Ｇ′（ｘ）单调问题的重要方法．过多地关注导数应用而忽视了递减，ｘ∈（ｌｎ２，＋!）时Ｇ

5、″（ｘ）＞０，Ｇ′（ｘ）单调不等式的本质，却是大多数学生的思维盲点．递增，而Ｇ′（０）＝３－ｅ＞０，Ｇ′（１）＝０，２“以直线为隔板”的解题思路则存在ｘ０∈（０，ｌｎ２），使得Ｇ′（ｘ０）＝０，且化陌生为熟悉，是转化思想的重要体现．如ｘ∈（０，ｘ０）时，Ｇ（ｘ）单调递增，ｘ∈（ｘ０，１）时果我们能将指数形式与对数形式并存的形式拆Ｇ（ｘ）单调递减，ｘ∈（１，＋!）时，Ｇ（ｘ）单调递分为指数形式与一次函数并存及对数形式与一增，由Ｇ（０）＝Ｇ（１）＝０易知Ｇ（ｘ）≥０对ｘ∈次函数并存的形式，难度就极大降低，因为这是（０，＋!）成立．学生极为熟悉的题型

6、，而直观地从图象上看，指即ｔ≤１时，ｇ（ｘ）≥ｅｘ２－ｘ＋ｘ≥ｈ（ｘ）对数函数与对数函数图象在凹凸性上的不同，恰为ｘ∈（０，＋!）成立①２０１６年第２期中学数学教学３５再构造函数Ｆ（ｘ）＝ｈ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ－由Ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋１）－ａｆ（ｘ）＋４，易知－４－４ｘ＋１，Ｆ（０）＝４－ａ，Ｆ（ｅ－１）＝－ａｆ（ｅ－１）＜０．则Ｆ′（ｘ）＝ｌｎｘ，由Ｆ′（ｘ）＝ｌｎｘ＝０解得ｘ故当０＜ａ≤４时，函数Ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋１）－＝１．ａｆ（ｘ）＋４有零点，与条件不符．且ｘ∈（０，１）时，Ｆ′（ｘ）＜０，Ｆ（ｘ）单调递下面证明ａ∈（４，＋!）

7、时，函数Ｆ（ｘ）无减；ｘ∈（１，＋!）时，Ｆ′（ｘ）＞０，Ｆ（ｘ）单调零点：递增，构造函数Ｇ１（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋１）－ｘ，ｘ∈（０，可知Ｆ（ｘ）在ｘ＝１处取得最小值，Ｆ（ｘ）ｍｉｎ－ｘ＋!），则Ｇ′１（ｘ）＝＜０，而Ｇ１（０）＝０，易ｘ＋１＝Ｆ（１）＝０，则Ｆ（ｘ）≥０对ｘ∈（０，＋!）恒成立，即知Ｇ１（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋１）－ｘ＜０对ｘ∈（０，＋!）成立，即ｌｎ（ｘ＋１）＜ｘ对ｘ∈（０，＋!）成立①ｈ（ｘ）≥ｆ（ｘ）对ｘ∈（０，＋!）恒成立．②ｘｘ由①②知，当ｔ≤１时，ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ）对任意再构造Ｇ２（ｘ）＝ｅ２－－１，ｘ∈（０，＋!），２ｘ

8、∈（０，＋!）恒成立．１ｘ１上述解法过程中，以直线为隔板，其作用在则Ｇ′２（ｘ）＝ｅ２－＞０，而Ｇ２（０）＝０，易知２２于拉近函数形式之间的差距，以减