构造长方体巧解异面直线问题 学法指导

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1、构造长方体巧解异面直线问题罗冬传立体几何的教学目的是培养学生的空间想象能力。高中学生已经有了初步的空间想象能力，大脑有了一些几何体的表象。但这些表象还是不清晰的、不稳定的、不全面的。面对异面直线问题他们不知如何构造线线关系、线面关系利用有关定理解题，这时我们可以通过构造学生熟悉的几何体如长方体来解决问题，在问题解决后把长方体去掉让学生直接解题，以此来培养学生的空间想象能力。一、线面综合性选择填空题有关线线、线面综合性选择填空题主要是考查立几的基本概念，学生易入手，但又易出错，得分率一直较低。为了提高做题的准确性，

2、我们可以引导学生充分利用学过的几何体如长方体等来解答问题。例1.已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：（1）若α//β，，则m//n。（2）若m，，则α//β。（3）若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β。（4）m、n是两条异面直线，若m//α，m//β，n//α，则α//β。上面命题中，真命题的序号是_____________________（写出所有真命题的序号）解：构造长方体如图所示，取ABCD为α，为β，AB为m，为n，则（1）不成立。图1取ABCD为α，CDD’C’为β，AB为m，

3、EF为n，E、F分别是BC、AD的中点，则（2）不成立。取ABCD为α，A’B’C’D’为β，AA’为m，BB’为n，由，，m//n，则n⊥β故α//β，（3）成立。取ABCD为α，A’B’C’D’为β，MN为m，GH为n，其中M、N分别为DD’、BB’的中点，H、G分别在BB’、CC’上，且GH//BC，N、H不重合，则BC//β，BD//β，故α//β，（4）成立，从而真命题的序是（3）（4）。例2.给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：A.若，，，则l与m不共面；（2）若m、l是异面直

4、线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；（3）若l//α，m//β，α//β，则l//m；（4）若l，，，，，则α//β。其中为假命题的是（）A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）解：构造长方体如图2所示。图2取ABCD为α，AA’为l，BC为m，则l、m是异面直线，故（1）成立取ABCD为α，A’B’为l，EF为m，E、F分别是BB’，CC’的中点，BB’为n，则n⊥AB，m⊥BC故n⊥α，（2）成立。取ABCD为α，A’B’C’D’为β，EF为m，FG为l，E、F、G分别是中点，则EF与FG相交

5、，则（3）不成立。故选（C）。二、三条直线相互异面的问题例3.三条直线a、b、c两两异面，作直线l与三条直线都相交，则直线l可以作多少条？解：构造长方体如图3所示，取直线AB为a，DD’为b，C’E为c，其中E为BC的中点，则a、b、c两两异面，由于直线DE与AB相交，故DE与三异面直线同时相交。过AB作平面交DD’、CC’、EC’分别于F、G、H，当G与C’不重合时，直线FH必与AB相交，即FH与三异面直线同时相交，又过AB作满足条件的平面有无数个，故与三异面直线同时相交的直线有无数条。图3三、异面直线在一平面

6、内的射影问题例4.设a、b是空间的两条直线，它们在平面α上的射影是两条相交直线，它们在平面β上的射影是两条平行直线，它们在平面上的射影是一条直线与直线外一点，则这样的平面有（）A.0个B.1个C.2个D.无数个解：构造长方体如图4所示，取为a，为b，而为α，ABCD为β，则ADD’A’为，故与平行的平面都满足题意，故平面有无数个，选（D）。图4四、异面直线所成角与距离问题例5.已知AA’是异面直线a、b的公垂线，a、b所成的角为60°，在直线a上取A’P=8cm，AA’=4cm，求点P到直线b的距离。解：如图5所

7、示，构造长方体使∠CAB=60°，AA’=4，P是A’C’上一点，A’P=8，则A’C’可看做直线a，AB为直线b，AA’是a、b的公垂线段，连结AC，则AC//A’C’，∠CAB即a、b所成的角，作于E，EF⊥AB于F，则PF⊥AB，故PF即所求距离。点P到直线b的距离是8cm。图5五、与异面直线成等角的直线问题例6.异面直线a、b成60°角，过空间中的一点P作直线与a、b都成70°角，则可以作出多少条这样的直线？解：构造长方体，使P为的对角线的交点，且，，∠A’PD’=60°。故只须看过P点可作多少条直线与A

8、’C’，B’D’都成70°角。如图6所示M、M’、N、N’、G、G’、H、H’分别是所在直线的中点，由∠MPD’=∠MPA’=30°<70°，∠NPA’=∠NPB’=60°<70°，故MG上有点E，使∠EPD’=∠EPA’=70°，同理，NH、N’H’上也有相应的点F、F’使FP、F’P与直线A’C’、B’D’都成70°角。综上，共有四条直线与a、b都成70°角。图6推广