构造异面直线所成角的几种方法

《构造异面直线所成角的几种方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．B．C．D．二、抓异面直线

2、(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例3如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．解：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角

3、线与棱所成角的大小，在Rt△PDB中，即．故填．点评：本题是将三棱柱补成正方体，从而将问题简化．补偿训练1．已知AB、BC、CD为不在同一平面内的三条线段，AB，BC，CD的中点P、Q、R满足PQ＝2，QR＝，PR＝3，求AC与BD所成的角．2．已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点．（1）求证：EF与PC是异面直线；（2）EF与PC所成的角；（3）线段EF的长．ABCDD1C1B1A1MN3．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和的中点，那么直

4、线AM与CN所成角的余弦值是（）（A）（B）（C）（D）4．（如图）已知P、Q是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D和A1B1C1D1的中心．（1）求线段PQ的长；（2）证明：PQ∥AA1B1B．空间中的平行关系线与线平行的证明方法一。定义：同在一个平面内，不相交的两条直线平行。二。利用几何图形：三角形中中位线、边成比例，平行四边形等三。公理四，平行于同一条直线的两条直线。四。线面平行的性质五。面面平行的性质直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面内

5、的一个向量相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。5．证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：a∩b，aα，bα，a∥β，b∥β，则α∥β。（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β。（4）平行于同一个平面的两个平面平行。两个平面平行的性质有五条：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于

6、另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，aα，则a∥β。（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b。（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β。（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。【例1】已知四边形ABCD是空间四边形，E、F、G、H、分

7、别是边AB、BC、CD、DA的中点。（1）求证：四边形EFGH是平行四边形。（2）求证：直线BD//平面EFGH【练习】：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，E为PC中点，E为PC中点，求证：PA//平面EDB【例2】如图所示：已知正方体中，E,F分别是的中点。求证：平面BDF//平面.7．如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．求证：MN∥平面PAD；空间中的垂直关系判定空间两直线垂直的方法有：⑴由定义：若两条直线所成的角是直角，则它们互相

8、垂直．⑵平面几何中证明线线垂直的方法；⑶三垂线定理及其逆定理．⑷线面垂直的性质：如果一条直线和一个平面互相垂直，则这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直．(5)向量方法。判定直线与平面垂直的方法有：⑴由定义：如果一条直线和一个平面相交，且和这个平面内的任意一条