构造异面直线所成角的几种方法

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1、www.MathsChina.com彰显数学魅力！演绎华软传奇！构造异面直线所成角的几种方法浙江周宇美异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与

2、GF所成的角是（）A．B．C．D．解：连B1G，则A1E∥B1G，知∠B1GF就是异面直线A1E与GF所成的角．在△B1GF中，由余弦定理，得cosB1GF＝＝0，故∠B1GF＝90°，应选(D)．评注：本题是过异面直线FG上的一点G，作B1G，则A1E∥B1G，知∠B1GF就是所求的角，从而纳入三角形中解决．二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，

3、此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．学数学用专页第3页共3页教数学用华软www.MathsChina.com彰显数学魅力！演绎华软传奇！解：取AE中点G,连结GM、BG∵GM∥ED，BN∥ED，GM＝ED，BN＝ED．∴GM∥BN，且GM＝BN．∴BNMG为平行四边形，∴MN//BG∵A的射影为B．∴AB⊥面BCDE．∴∠BEA＝∠BAE＝45°，又∵G为中点，∴BG⊥AE．即MN⊥AE．∴MN与AE所成角的大小等于90度．故填90°．三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例3(2005年

4、全国高考天津卷)如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．解：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小，在Rt△PDB中，即．故填．点评：本题是将三棱柱补成正方体学数学用专页第3页共3页教数学用华软www.MathsChina.com彰显数学魅力！演绎华软传奇！，从而将问题简化．学数学用专页第3页共3页教数学用华软