利用二阶方向导数证明极值的充分条件

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1、万方数据利用二阶方向导数证明极值的充分条件莫国良1，吴琳聪2，周艳2(1．浙江大学城市学院应计系．浙江杭州310015}2．浙江大学城市学院商学院，浙江杭州310015)摘要介绍二元函数二阶方向导数的概念与计算方法．利用线性代数中的二次型知识，对二元函数在驻点处是否取得极值的充分性定理给出有几何意义的证明．关键词二阶偏导致判别法I二阶方向导数，几何饵释中圈分类号0172文献标识码A文章编号1008-1399(2011)02—0023—03在理工类的微积分教材中，一般都有方向导数与梯度概念的介绍，但大都没有二阶方向导数的介绍，而对二元函数

2、在驻点处是否取得极值的充分性定理，一般的处理方式有两种：一种是利用二元函数的泰勒展开式进行证明(如文E13)．；另一种是干脆略去其证明(如文E2-3])．对前种处理方式，学生往往感到繁琐、困难，没有几何直觉感．对后种处理方式，学生往往只会套用公式，不知其所以然．本文在介绍二元函数二阶方向导数概念的基础上，给出了二元函数二阶方向导数的计算公式，并利用线性代数中的二次型知识，对二元函数在驻点处是否取得极值的充分性定理给出有几何意义的证明．我们采用文[1]中方向导数的定义．即定义二元函数z—f(x，y)在Po(Zo，Yo)处沿方向l的方向导数

3、为极限莆k，=船丛斋笄越，其中P(z，y)是自Po(zo，，o)出发引与f相同方向的射线Z上的一个动点．当名=f(x，y)在点Po(勋，Yo)处可微时，计算上述方向导数有一个比较简单的公式[¨，即斋l咿=笔I‰，嘞+型l‰，cos#a(zoay．1I．而)azI‘而．而)⋯‘l‘～．而)’当给定点(z。，yo)换成一般的点(z，y)时，由上述定义获得的方向导数仍是工与Y的二元函数，可以记作等l，则它在Po处还可继续求方向导数掣ak，．jl(^．h)。较疆日期：2010一08—30·修改日期：2011一02一09．作者简介t英国盘：(19

4、62--)。男，浙江海宁人。硕士，剐教授，从事教育教学研究．EmailImogl@zuoc．edtLc儿动点，当极限azI—az1：一a1l<；，妒a1l‘～，YO)耀——T再订0一P_．凡I，，存在时，定义z=f(x，了)在Po处的二阶方向导数为该极限，并记作导≥l。唧．却，，即堕l竺!!量k!I：arI(zo·如'a1I‘～tVo)azl—a2l，：一a1I(z．一a1I‘～．拍)螋——．r再订0一’P一匕J厂rl当函数z=f(x，y)在(鳓，Yo)处的某个邻域内有二阶连续偏导数时，计算二阶方向导数也有一个较简便的公式．事实上，我们

5、有下面的定理．定理1设z=f(x．，)在(锄，殉)处的某个邻域内有二阶连续偏导数，令A=等k，，B一篇k，，c=筹k，，如果1={COSat，co啦)是某一方向向量，则等l‰，=鲥口十2Bco锄单+耐卢．证明因为挈，掣在(锄，y。)处都可微，且dZdV二阶混合偏导数相等，则乱广(掣咖+尊吡厂百7fclb．而，2I—1万一∞敞十—才∞叫I‰．而，。万方数据24高等教学研究2011年3月[(努CO钮+篇c。印)CO阳+(器cosa--I-移。功co卅k，=(铷州丢扣删+争力L=Acos2口+2Bcosacosfl+Ccos2p．如果：崭k，

6、_o，等k，>。，由导数的意义知，此时曲线r在M(函，弘，fCr．0，帅))处沿l方向局部上凹．如果·等k，=。，等k，>o，则曲线r在M(硒，yo，八锄，弘))处沿I方向局部下凹．有了以上的准备，我们可以对二元函数在驻点处是否取碍极值的充分性定理给出有几何意义的证明了．定理2(充分条件)设函数z=f(ar，y)在点Po(锄，Yo)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又丘(zo，Yo)=0，f(zo，3Io)=0，若令A一以(Xo，Yo)，B=心(zo，yo)，C一厶(岛，蛳)，那么1)当AC—B2>0时，函数2=f(x，3，)在P

7、o处具有极值，且当A>0时，取到极小值，当A<0时，取到极大值。2)当AC—B2<0时，函数z—f(x，，)在P。处没有极值．3)当AC—B2—0时，函数：=f(x，y)在Po处可能有极值，也可能没有极值．证明因为正(xo，Yo)=0，f(Xo，yo)=0，因此曲面z=f(x，y)在P。处的切平面是平行于xOy平面的(即在Po处任一方向导数皆为O)．对于平面上的任一方向向量l={co融，co卵)，自Po引射线Z与l同向，曲线r是过Z(也过点Po)且垂直于妨平面的平面，r与曲线z=f(x，y)的交线．1)当AC—B。>0且A>0时，由线性

8、代数相关理论可知，矩阵是正定的，从而对任葸方向向量l，有等L。心口+妣姗$+耐卢2C>。．‰∞咿(BJ＼c。s8，>仉这表明，曲线r在Po处的每个二阶方向导数皆为正数，因而该曲线在P。处沿l方向局部上凹．由