高等数学课后习题答案第二章

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1、习题2-1(A)1、函数f(x)的导数，左导数，右导数有什么区别与联系解：设f(x)在点x导数存在，则设f(x)在点x的左、右导数存在切都相等。00即f′(x)存在，则f′(x)=f′(x)=f′(x)0−00+0反之，如果设f(x)在点x的左、右导数存在切且相等，则f(x)在点x导数存在00即如果f′(x)=f′(x)=A，则f′(x)=A−0+00而（1）、若f(x)在点x的左、右导数存在但是不相等，则f(x)在点x导数不存在。00（2）、若f(x)在点x的左、右导数有一个不存在，则f(x)在点x导数不

2、存在。002、用导数定义求下列函数的导数（1）、y=mx+b[m(x+∆x)+b]−(mx+b])m∆x解：y′=lim=lim=m∆x→0∆x∆x→0∆x（2）、y=xx+∆x−x∆x1解：y′=lim=lim=∆x→0∆x∆x→0∆x(x+∆x+x)2x2（3）、y=1−x222[1−(x+∆x)]−(1−x)−2x∆x−(∆x)解：y′=lim=lim=−2x∆x→0∆x∆x→0∆x2−b3、设函数f(x)=ax+bx+c，其中a,b,c是常数，求f′(x)，f′(0)，f′(−1)，f′()2a解：

3、22f(x+∆x)−f(x)a(x+∆x)+b(x+∆x)+c]−[ax+bx+c]f′(x)=limf′(x)=lim∆x→0∆x∆x→0∆x22ax∆x+(∆x)+b∆x=lim=2ax+b∆x→0∆x−bf′(0)=b，f′(−1)=−2a+b，f′()=02a4、设f(x)在点x可导，求下列各式的值037f(x−∆x)−f(x)f(x+2∆x)−f(x)0000（1）、lim（2）、lim∆x→0∆x∆x→0∆xf(x+∆x)−f(x)解：（1）由题设知f′(x)=lim∆x→0∆xf(x−∆x)−

4、f(x)f(x−∆x)−f(x)0000于是有lim=lim(−1)=−f′(x)∆x→0∆x∆x→0−∆xf(x+2∆x)−f(x)f(x+2∆x)−f(x)0000（2）、lim=lim⋅2=2′f(x)∆x→0∆x∆x→02∆x25、求曲线y=x在(1,1)点的切线方程2(1+∆x)−1解：f′(1)=lim=2，所以切线的斜率k=2∆x→0∆x2曲线y=x在(1,1)点的切线方程为y−1=2(x−1)就是2x−y−1=06、将一个物体上抛，其运动方程是12s=12t−gt（为重力加速度）2求t=1秒

5、末的瞬时速度和达到最高点所需要的时间解：v(1)=s′(t)=(12−gt)=(12−g)（米/秒）t=1t=112当v=0时达到最高点，12−gt=0，解得t=（秒）g(B)2⎧x+10≤x<11、f(x)=⎨在点x=1是否可导，为什么？⎩3x−11≤x[3(1+∆x)−1]−(3⋅1−1)解：由于f′(1)=lim=3，+∆x→0∆x22[(1+∆x)+1]−[x−1]f′(1)=lim=2−∆x→0∆x左右导数不相等，所以在点x=1是不可导的。2、讨论y=xx在点x=0是否可导22x−0−x解：由于f

6、′(0)=lim=0，f′(1)=lim=0+−x→0xx→0x左右导数相等，所以在点x=1是可导的，且f′(0)=038⎧ln(1+x)−1

7、1xsinx1解：由于f′(0)=lim=limxsin=0x→0xx→0x所以在点x=0是连续可导的，且f′(0)=1f(x)5、设f′(0)存在，且f(0)=0，求limx→0x解答：由于设f′(0)存在，且f(0)=0，f(x)−f(0)f(x)所以f′(0)=lim=limx→0xx→0x⎧2⎪x≤16、f(x)=⎨x2+1在x=1可导，求a,b⎪⎩ax+bx>1−4x解：由于f(x)在x=1可导，由f′(1)==−1，f′(1)=a，可得a=−1−22x=1+(x+1)f(x)在x=1也连续，可得

8、a+b=1，得b=2(C)1、函数f(x)在第一类间断点处能否同时存在左导数和右导数？解：函数f(x)在第一类间断点处能同时存在左导数和右导数，例如⎧1+xx≥0f(x)=⎨，⎩−xx<0x=0是第一类间断点，f′(0)=1f′(0)=−1+−392、f(x)=(x−a)ϕ(x)，其中ϕ(x)在x=a处连续，求f′(a)f(x)−f(a)(x−a)ϕ(x)−0解：f′(a)=lim=lim=limϕ(x)=ϕ(a