高等数学, 李伟版 , 课后习题答案第二章

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1、《高等数学课后习题答案》460022108习题2—1（A）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限；(),xxa,（2）求分段函数fx()在分界点xa处的导数时，必须利用左右导数的定义(),xxa分别求该点处的左右导数。二者如果相等，则在这一点处的导数就等于左右导数，否则在这点部可导；（3）yf(x)在x点可导的充分必要条件是yf(x)在x点的左、右导数都存在；00（4）函数yf(x)在x点连续是它在x点可导的充分必要条件.00答：（1）正确．根据导数的定义．（2）正确．一般情况下是这

2、样，但是若已知f(x)连续时，也可以用f(x)f(x)00（即导函数的左极限），f(x)f(x)（即导函数的右极限）求左右导数．00（3）不正确．应是左、右导数都存在且相等．（4）不正确．f(x)在x点连续仅是f(x)在x可导的必要条件，而不是充分条件，如003yx、yx都在x0点连续，但是它们在x0点都不可导．22．设函数yxx，用导数定义求它在x1点处的导数.2xx0解：y(1)limx1．x1x13．设函数yx，用定义求它在x1点处的导数．0x111解：y(1)limlim．x1x1x1x1

3、24．用定义求函数ylnx在任意一点x(x0)处的导数．x11ln(xx)lnxx1解：ylimlimln[(1)x]xlnex．x0xx0xx25．对函数f(x)x2x，分别求出满足下列条件的点x0：-1-《高等数学课后习题答案》460022108（1）f(x)0；（2）f(x)2．0022[(xh)2(xh)](x2x)解：f(x)limlim(2x2h)2x2，h0hh0（1）由f(x)0，有2x20，得x1；000（2）由f(x)2，有2x22，得x0．000126．

4、已知某物体的运动规律为sgt，求时刻t时物体的运动速度v(t)，及加速度a(t)．222g(th)/2gt/2解：速度为v(t)s(t)limlim(gth)gt，h0hh0g(th)gt加速度为a(t)v(t)limlimgg．h0hh07．求曲线ylnx在点(1，0)处的切线方程与法线方程．1解：切线斜率ky(1)1，x1x切线方程为：y01(x1)，即xy10；1法线方程为：y0(x1)，即xy10．18．若函数f(x)可导，求下列极限：f(x0x)f(x0)f(x)（1）lim；（2

5、）lim（其中f(0)0）；x0xx0xf(x0h)f(x0h)f(1)f(1sinx)（3）lim；（4）lim．h0hx0xf(xx)f(x)f(xx)f(x)0000解：（1）limlimf(x0)；x0xx0xf(x)f(x)f(0)（2）limlimf(0)；x0xx0x0f(xh)f(xh)00（3）limh0hf(xh)f(x)f(xh)f(x)0000limlimf(x)f(x)2f(x)；000h0hh0h-2-《高等数学课后习题答案》460022

6、108f(1)f(1sinx)f(1sinx)f(1)sinx（4）limlimf(1)1f(1)．x0xx0sinxx9．讨论下列函数在指定点的连续性和可导性：3（1）yx，在x0点；1xarctan，x0，（2）f(x)x2在x0点；0，x0，2xx,1,（3）fx()在x1点．xx,1,33解：（1）yx是初等函数，且在x0的邻域内有定义，因此yx在x0点连续，3x013因为limlim（极限不存在），所以yx在x0点不可导；x0x0x03x22xarctan(1/x)01（

7、2）因为limlimarctan，x0x0x0x221xarctan，x0，所以f(x)x2在x0点可导，且f(0)，从而也连续；0，x0，22（3）因为f(10)limx1，f(10)limx1，f(1)1，有limf(x)f(1)，x1x1x12xx,1,所以，fx()在x1点连续，xx,1,2x1x1又f(1)lim1，f(1)limlim(x1)2，有f(1)f(1)，x1x1x