高等数学, 李伟版 , 课后习题答案第七章

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1、习题7-1（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）向量由模和方向两个因素所确定；（2）非零向量a的单位向量不仅要求模为1而且还要与a共线，它可以通过a乘以a的模的倒数而得到；（3）本节讨论的向量运算包括加减、数乘、数量积及向量积等运算，这些运算中除了数量积得到的结果是一个数外，其他运算所得到的结果都仍然是向量；（4）由向量的数乘运算得到了判定两向量平行的充分必要条件，由向量的数量积运算得到了判定两向量垂直的充分必要条件；两个向量的向量积等于以这两个向量为邻边的平行四边形的面积；（5）一个向量在另一个向量上的投影是一个数值，它等于一个相应线段的长度．答

2、：（1）正确．当不关心向量的起点与终点时便是如此，这就是向量的定义．（2）前者不正确．a的单位向量是与a同向的、且模为1的向量；后者正确a的单位向a量e．aa（3）正确．向量的加法与数乘，还有向量的向量积的结果都是向量，而向量的数量积的结果是数量，这些都是由运算的定义决定的．（4）前者不全面，判断两个向量平行不仅有a∥bba（其中a0），还有a∥bab0，判断两个向量垂直有abab0；后者不正确，以a、b为邻边的平行四边形的面积等于ab．（5）不正确．一个向量在另一个向量上的投影是一个数值，

3、当两个向量夹角是锐角时这个数值是正值，它是一个相应线段的长度；当两个向量夹角是钝角时这个数值是一个负值，它不是一个相应线段的长度．2．设向量ua23bc，v3abc，求23vu．解：23vu2(3abc)3(a2b3c)3a8b11c．3．在ABC中，D、E是BC边的三等分点，若1ABc、ACb，求AD及AE．解：如图，BCBAACACABbc，111ADABBDABBCc(bc)(b2c)；333221AEABBEABBCc(bc)(2b

4、c)．3334．设点M,N分别是四边形ABCD两对角线AC与BD之中点，若ABa，CDc，求MN．解：一方面MNMAABBN，另一方面MNMCCDDN，两式相加，有2MNMAMCABCDBNDN，由于M,N分别是AC与BD之中点，有MAMC0、BNDN0，并由1ABa，CDc，得2MNab，即MN(ab)．25．若a3，b2，且向量a与b的夹角为，求：6（1）ab；（2）(2a)(3b)；（3）(ab)(a2b)；（4）ab．31解：记向量a与b的夹

5、角为，则cos、sin．6223（1）ababcos3233．2（2）(2a)(3b)6ab183．22（3）(ab)(a2b)aa2abba2bbaab2b133．1（4）ababsin323．236．若a2、b1，且向量a与b的夹角为，求(b)及以a、b为邻边的平行四边a4形面积．2ababcos(3/4)2解：(b)abcos(3/4)，aa2以a、b为

6、邻边的平行四边形面积ababsin(3/4)2．7．证明向量(bc)a(ac)b与向量c垂直．证明：因为[(bc)a(ac)b]c(bc)(ac)(ac)(bc)(ac)(bcbc)0，所以向量(bc)a(ac)b与向量c垂直．8．设a、b是两个非零向量，求下列各式成立的条件：（1）abab；（2）abab；（3）baab；（4）abab．解：（1）根据向量加法的（三角形法）

7、的定义，当a与b同向时有abab．（2）根据向量加法的（三角形法）的定义，当a与b反向，且ab时有abab．（3）根据数与向量乘法的定义，当a与b同向时有baab．（4）因为ab、ab分别是以向量a、b为邻边的平行四边形两条对角线的长度，由abab知道这个平行四边形一定是矩形，所以应有a与b垂直．习题7-1（B）1．设刚体以角速度绕l轴旋转，证明刚体上任一点M的线速度为vr（其中rOM，O是l轴上任一点）．证明：如图，根据物理学知道，线速度为