1.4乘法公式与全概率公式

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1、条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式§1.4条件概率与三个概率公式一、条件概率对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的,但有时除了这个确定的条件以外,还会提出附加的条件,即已知某一事件B已经发生,要求另一事件A发生的概率。例如,考虑有两个孩子的家庭,假定男女出生率相同,则两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。若A记为“一男一女”,则P(A)=1/2;但如果预先知道至少有一男孩,则上述事件的概率应为2/3.例如,考虑有两个孩子的家庭,假定男女出生率相同,则

2、两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。若A记为“一男一女”,则P(A)=1/2;但如果预先知道至少有一男孩,则上述事件的概率应为2/3.我们将“已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率”称为条件概率,记为P(A

3、B)。若记B为至少有一男孩,则上述概率为条件概率的计算公式规定如下:例1设袋中有7个黑球,3个白球,不放回摸取两次,如果已知第一次摸到白球,求第二次也摸到白球的概率。解设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则法二:法一:A发生后的缩减样本空间所含样本

4、点总数在缩减样本空间中B所含样本点个数例2设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8,活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物,它能活到25岁以上的概率是多少?解设A={能活20年以上},B={能活25年以上}依题意,P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B

5、A).不难验证条件概率具有以下三个基本性质:(1)非负性(2)规范性(3)可加性并由此推出条件概率的其它性质:1.设A与B互不相容,且P(B)>0,则P(A

6、B)=________2.设A与B为两事件,且P(A)=0.

7、7,P(B)=0.6,练习0注:概率P(A

8、B)与P(AB)的区别与联系联系:事件A,B都发生了区别:(1)在P(A

9、B)中,事件A,B发生有时间上的差异,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生。(2)样本空间不同,在P(A

10、B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为S。因而有作业P:19习题1-41二、乘法公式由条件概率的公式:即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A

11、B)若已知P(B),P(A

12、B)时,可以反求P(AB).若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B

13、

14、A)推广到三个事件:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2

15、A1)…P(An

16、A1A2…An-1)一般,与次序无关。乘法公式例3某厂产品的废品率为4%,而合格品中有75%是一等品,求一等品率.解记A:合格品;B:一等品,即一等品率为72%.例4例4三、全概率公式全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它实质上是可加性和乘法公式的综合运用.综合运用可加性P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B

17、A)P(A)>0(即每次至多发生其中一个)(即每次至少发生其中一个

18、)B1B2B3B4B6B7B5B8集合的划分AB1B2B3B4B6B7B5B8由概率的可加性及乘法公式,有这个公式称为全概率公式,它是概率论的基本公式.全概率公式利用全概率公式,可以把较复杂事件概率的计算问题,化为若干互不相容的较简单情形,分别求概率然后求和.例5市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30%、20%、50%,且三家工厂的次品率分别为3%、3%、1%,试求:(1)市场上该品牌产品的次品率.B1、B2、B3分别表示买到设A:买到一件次品;解加权平均

19、一件甲厂、乙厂、丙厂的产品;例6袋中有a个白球b个黑球,不放回摸球两次,问第二次摸出白球的概率为多少?解分别记A,B为第一次、第二次摸到白球,由全概率公式,例7设玻璃杯整箱出售,每箱20只,各箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯,由营业员任取一箱,经顾客开箱随机察看4只,若无次品,则买此箱玻璃杯,否则退回.试求顾客买下此箱玻璃杯的概率.解记A:顾客买下所察看的一箱玻璃杯,Bi:箱中有i件次品(i=0,1,2),由题设知,由全概率公式知四、贝叶斯公式在上面例

20、5中,如买到一件次品,问它是甲厂生产的概率为多大?这就要用到.在全概率公式的假定下,有该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下,寻找导致A发生的每个原因Bk的概率.贝叶斯公式所以这件商品最有可能是甲厂生产的.例5已知三家工厂的市场占有率分别为30%、20%、50%,次品率分别为3%、3%、1%.(2)如果买了一件该商品,发现是次品,问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解全概率公式可看成“由原因

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