1.4乘法公式与全概率公式

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1、条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式§1.4条件概率与三个概率公式一、条件概率对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出附加的条件，即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率。例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则

2、两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.我们将“已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率”称为条件概率，记为P(A

3、B)。若记B为至少有一男孩，则上述概率为条件概率的计算公式规定如下：例1设袋中有7个黑球，3个白球，不放回摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。解设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则法二：法一:A发生后的缩减样本空间所含样本

4、点总数在缩减样本空间中B所含样本点个数例2设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B

5、A).不难验证条件概率具有以下三个基本性质：(1)非负性(2)规范性(3)可加性并由此推出条件概率的其它性质：1.设A与B互不相容,且P(B)>0,则P(A

6、B)=________2.设A与B为两事件,且P(A)=0.

7、7,P(B)=0.6,练习0注：概率P(A

8、B)与P(AB)的区别与联系联系：事件A，B都发生了区别：（1）在P(A

9、B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。（2）样本空间不同，在P(A

10、B)中，事件B成为样本空间；在P（AB）中，样本空间仍为S。因而有作业P:19习题1-41二、乘法公式由条件概率的公式：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A

11、B)若已知P(B),P(A

12、B)时,可以反求P(AB).若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B

13、

14、A)推广到三个事件：P(A1A2…An)=P(A1)P(A2

15、A1)…P(An

16、A1A2…An-1)一般,与次序无关。乘法公式例3某厂产品的废品率为4%,而合格品中有75%是一等品,求一等品率.解记A：合格品；B：一等品，即一等品率为72%.例4例4三、全概率公式全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它实质上是可加性和乘法公式的综合运用.综合运用可加性P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B

17、A)P(A)>0(即每次至多发生其中一个)(即每次至少发生其中一个

18、)B1B2B3B4B6B7B5B8集合的划分AB1B2B3B4B6B7B5B8由概率的可加性及乘法公式,有这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式.全概率公式利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和．例5市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,且三家工厂的次品率分别为3％、3％、1％，试求：（1）市场上该品牌产品的次品率.B1、B2、B3分别表示买到设A:买到一件次品；解加权平均

19、一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；例6袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？解分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式,例7设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则退回.试求顾客买下此箱玻璃杯的概率.解记A:顾客买下所察看的一箱玻璃杯，Bi:箱中有i件次品(i=0,1,2)，由题设知，由全概率公式知四、贝叶斯公式在上面例

20、5中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到.在全概率公式的假定下，有该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因Bk的概率.贝叶斯公式所以这件商品最有可能是甲厂生产的.例5已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,次品率分别为3％、3％、1％.（2）如果买了一件该商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解全概率公式可看成“由原因