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《概率论与数理统计-1.4全概率公式与贝叶斯公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§1.4全概率公式与贝叶斯公式1.全概率公式2.贝叶斯公式11.全概公式抽签问题：假设有10张票，其中有7张足球票，10人轮流抽签，问先抽和后抽得到足球票的概率是否相同？看法一：10人轮流抽签，机会相等。看法二：因为抽签有先后，显然先抽的人抽到的概率大，后抽的人抽到的概率小。2分析设A={第一人抽到球票}，B={第二人抽到球票}则又二者是互不相容的，故3同理，可算出第三人，第四人…直到最后一人抽到的概率都相同。上述分析的实质是将一个复杂事件分解为较简单的几个事件，然后将概率的加法公式和乘法公式结合起来，这就产生了所谓的全概率公式。故第一人和第二人抽到
2、的概率相等。4定理1.4.1设事件 两两互不相容，则对于任一事件B，有上式称为全概率公式5证明由事件 两两互不相容，所以也两两互不相容，且于是根据加法公式和乘法公式，即得6（1）全概率公式中的事件组叫完备事件组；（2）在定理中的条件可减弱为结论亦然成立。（3）该公式一般用于：所求事件的概率可能有某些原因引发，而这些原因又构成完备事件组；（4）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。注7解设事件A表示取出的2个球都是白球，事件Bi表示所选袋子中装球的情况属于第i种（i=1,2,3）8易知于是按全概率公式所求的概率910则有所求的概率为解设
3、事件Bi是一批产品中有i个次品（i=0,1,2,3，4），设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品11例:有三个形状相同的箱子，在第一个箱中有两个正品一个次品；在第二个箱中有三个正品一个次品；在第三个箱中有两个正品两个次品.现从任何一个箱子中任取一件产品，求取得的是正品的概率.解:设Bi={从第i个箱子中取到产品}(i=1,2,3)，A={取得正品}.由题意知Ω=B1+B2+B3且B1,B2,B3是两两互不相容的事件.则P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3P(A
4、B1)=2/3，P(A
5、B2)=3/4，P(A
6、B3)=2/4
7、=1/2由全概率公式得P(A)=P(B1)P(A
8、B1)+P(B2)P(A
9、B2)+P(B3)P(A
10、B3)=0.6412例市场上某种商品由三个厂家同时供货，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍，乙、丙两个厂家相等，且各厂产品的次品率为2%,2%,4%.(1)求市场上该种商品的次品率.解：设Ai表示取到第i个工厂产品，i=1,2,3，B表示取到次品，由题意得:P(A1)=0.5，P(A2)=P(A3)=0.25，P(B
11、A1)=0.02，P(B
12、A2)=0.02，P(B
13、A3)=0.04由全概率公式得:13分析:所求为条件概率P(A1
14、B)=P(A1B)
15、/P(B).这也就是下面的Bayes公式.(2)若从市场上的商品中随机抽取一件，发现是次品，求它是甲厂生产的概率?142.贝叶斯公式贝叶斯公式是全概率公式的逆问题：若已知“结果”B已经发生了，要求引起B发生的某一种“原因”Ak发生的概率．定理1.4.2设 构成一个完备事件组，则对于任一事件B，且 有此公式称为贝叶斯(Bayes)公式（或逆概率公式）．15证明由条件概率的定义及乘法公式和全概率公式有161.A1,A2,...,An可以看作是导致事件B发生的原因；2.P(Aj
16、B)是在事件B发生的条件下，某个原因Aj发生的概率，称为“后验概率”
17、。3.贝叶斯公式给出了“结果”事件B已发生的条件下，“原因”事件Aj的条件概率。因此Bayes公式又称为“后验概率公式”；4.P(Aj)对应可以称为“先验概率”。注17这一公式最早发表于1763年，当时贝叶斯已经去世，其结果没有受到应有的重视.。后来，人们才逐渐认识到了这个著名概率公式的重要性。现在，贝叶斯公式以及根据它发展起来的贝叶斯统计已成为工程技术、机器学习、人工智能、经济分析、投资决策、药理的临床检验及疾病的计量诊断等领域的重要工具。18例设8支枪中有3支没有经过试射校正，5支经过试射校正．一射手用校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校
18、正的枪射击时，中靶的概率为0.3.今从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶．求所用的这支枪是经过校正过的概率．解设A1={枪经过试射校正}，B={中靶}A2={枪没有经过试射校正}则A1，A2构成完备事件组．由题意知19由逆概公式得20例:无线电通讯中发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“.”和“-”.由于干扰发出信号“.”时，收报台以概率0.98收到信号“.”；发出信号“-”时，收报台以概率0.99收到信号“-”.求在收报台收到信号“-”的条件下，发报台发出信号“.”的概率.解:设B1={发出信号“.”}，B2={发出信号“-”}，A1={收到信号
19、“.”}，A2={收到信号“-”}.由于B1B2=，B1∪B2=Ω，A2=A2B1∪A2B2于是21解:由
