非局部分数阶椭圆型方程在主特征值附近解的多重性-论文.pdf

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1、第16卷第4期铜仁学院学报VoI．16．No．42014年7月JournalofTongrenUniversityJu1．2014非局部分数阶椭圆型方程在主特征值附近解的多重性姚娟，郭灵钟，索洪敏(贵州民族大学理学院，贵州贵阳550025)摘要：利用山路引理、Ekeland变分原理及鞍点定理，得到了一类非局部分数阶椭圆型方程在主特征值附近解的多重性。关键词：非局部分数阶椭圆型方程；山路引理；Ekeland变分原JE；主特征值；多重性中图分类号：O176．3文献标识码：A文章编号：1673—9639(2014)04—0163—041

2、．引言与主要结论j(一△)“一2u=／(，“)，∈Q，(3)l“：0，∈R”＼Q，当前已有很多关于椭圆方程在低阶特征值附近其中Qc为有界开区域且满足光滑边界，n>2s，解的研究结果[1-4]。经典结果是J．Mawhin和K．S∈(O，1)，(一△)表示分数阶Laplace椭圆算子，定义Schmitt【2J利用变分法考虑两点近共振问题：如下：I“一2u=f(x，“)+．Iz()，r1、【“(0)=uOr)=0．、^，一(-A)“()=『R三二±三，e酞。(4在非线性扰动项满足一个符号条件和有界的情况方程(3)对应的特征值问题为：下，

3、如果从左边充分接近，则问题(1)至少有j(一△)“=2u，x∈Q，(5)三个解；如果<<，则问题(1)至少有一个I“=0，∈酞＼Q．解。这里的和分别是问题(1)对应的特征值问根据文献[13]知，(一△)的特征值是一列无界序列题的第一个和第二个特征值。{}，且0<<⋯⋯，!i=4-oo，关于半线性椭圆方程iI一n△=“0一，2u=f(x，“)，∈Qc3f，)，r，。)、其中是有限重的，是正的、单重的和孤立的。本文中，空间表示为：已有很多其主特征值附近解的存在性与多重性的结：{U∈：U=O，在＼Q中一致成立}，(6)果【】。这些结果是

4、基于分歧理论和度理论，也有很其中是R到的Lebesgue可测函数空间，中多结果是基于变分方法。任意函数属于(Q)，且映射本文受到文献[5]的启发，利用山路引理、Ekeland(，)(g()一g(．y))l—yl一‘变分原理及鞍点定理，研究下面非局部分数阶椭圆属于(＼(CI)×)，dxdy)，C=＼Q。方程在主特征值附近解的多重性：由于(Q)Xo，因此与非空。收稿日期：2014．01．05基金项目：本文系贵州省科学技术基金(黔科合J字[201312141号、黔科合J字LKM[2011131号)，贵州I民族大学2013年科研项目成果。

5、作者简介：姚娟(1989-)，女，贵州松桃人，硕士研究生，研究方向：非缌陛泛函分析。索洪敏(1965-)，男，贵州都匀人，教授，博士，硕士生导师，主要从事非线性分析方面的研究。164铜仁学院学报2014年空I司上的范数定义为：弟一步，由假设(f1)与嵌入定理，得到如F估计式Ilul=(()一()l-yldxdy)j，(7)其中Q=＼D，o=(c-n)x(c-xa)c，C~=Rn＼Q。IL，“)砷c(1+)。(13)可以证明是一个Hilbert空间(详见文献当∈Xo时，利用(9)、(11)得【13】)，对应内积为：)2_C(1+I“

6、I(14)<“，1，L一0，)xv(一一-‘。(8)从而，当<时，有limJ(u)=+oo。同理，由(10)、HuH-+~o对于特征值空间的分解，通过简单的计算，有如下变分不等式：(11)及(13)，当；时，有『nu2dx≥“I，Vu∈，(9)(啦Jl2-C(1+II)’。』于是，limJ,(“)=佃。』nu2dx>_II，V。0)。。。’J+1现给出本文的主要结果：此外，当<^时，由(11)得，(“)<(“)，定理：假设非线性项满足下列两个条件：再由(15)可知，存在常数M，使得(f1)f：Q×R是Carath6odory函数，

7、且有Minf(zf)inf,(“)。(16)Vg∈(1，2)与存在C>0，使得I厂(，f)Ic(1+)；E^。、"Exk、(f2)1．．imF(x，t)=对所有∈Q一致地成立，【．I叶w第二步，假设主特征值的特征函数为，则根据条件(f2)及特征函数的性质有其中F(，t)=Iof(x,s)ds，limF(x，磁)=+oo，(17)t--I,e~一则存在60>0，使得当∈(-zo，)时方程(3)至从而，根据Fatou引理，存在f>0，使得少存在三个解。InF(x,f)>l—，2．主要结论的证明于是得考虑泛函J：XoJ(t=专『口lf)

8、-t+~()lII()=寺JR(一“∽I-Yl一导一InF(刈)一鲁LI“()f一LF(，()))由于是Fr~ehet可微的，所以，对于∈Xo，同理，根据F(x，f)=+∞，存在f一>0，使得V∈Xo，有<)，>c=∞一“∽)一一蚴J(t-)=)_