理论力学复习指导

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1、拉格朗日方程从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛

2、顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。本章内容有：动力学普遍方程；拉格朗日方程；拉格朗日方程的首次积分。一、动力学普遍方程将动静法与虚位移原理结合，就得到了动力学普遍方程：受有理想约束的质点系在运动过程中，其上所受的主动力和惯性力在质点系的任何虚位移上所做的虚功之和为零。动力学普遍方程尽管被称之为方程，但在实际应用时，我们更应将它视为一个

3、原理：动力学普遍原理，它指导我们列写动力学方程。如果你能熟练应用虚位移原理，则动力学普遍方程的应用将是一个很熟识的过程：在考虑系统的主动力的同时再加入系统的惯性力，然后对该力系应用虚位移原理。在实际应用中，当加入系统的惯性力时，常常要补充运动学方程：系统的速度、加速度之间的关系。运用动力学普遍方程建立的独立的动力学方程的个数等于系统的自由度，这一点也是与虚位移原理相同。一般而言，如果要建立系统在特殊位置的动力学关系，可以考虑应用动力学普遍方程。如果要建立系统在任意一般位置的动力学关系，则应考虑应用拉格朗日方程。二、拉格朗日方程

4、拉格朗日方程是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。在教材中,拉格朗日方程有三种形式,分别对应着一般情况、主动力有势以及主动力部分有势的情况。(1)拉格朗日方程的一般形式是：（11－1）其中：T是系统的以广义坐标和广义速度表示的动能，是所有主动力对应于广义坐标的广义力。(2)当作用于系统上的所有主动力和内力均为有势力时，拉格朗日方程可以写成如下形式：（11－2）此处：，V是系统的以广义坐标表示的势能。L称为拉格朗日函数，也称动势。(3)当作用于系统上的所有主动力和内力部分为有势力时，拉格朗日方程可以写成如下形式：（11－3

5、）此处：为所有非有势力对应于广义坐标的广义力，所有的有势力计入系统的拉格朗日函数。从拉格朗日方程的形式看，应用拉格朗日方程时只涉及速度分析，不涉及更复杂的加速度分析。所以如果问题中不要求求解约束力，则拉格朗日方程是一个很好的选择。三、广义力的计算方法一：为求出非有势力对应于广义坐标的广义力，可取特殊的虚位移，而其余的，求出所有非有势力在该虚位移上所做的虚功，则应有由此可得出在下一节的例子中我们将看到它的应用。方法二：如果系统上作用的主动力的作用位置是,(i=1,...,n)，将其表示成广义坐标的函数：则对应于广义坐标的广义力可

6、由如下公式求出：四、拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程是一组二阶常微分方程。一般情况下，方程是非线性的，求解很困难。但对某些类型的系统，可以利用系统的特性给出某些首次积分，使部分二阶常微分方程降阶，这对整个微分方程组的定性分析和数值求解都是很有帮助的。拉格朗日方程是对受理想约束的动力学系统建立的方程，所研究的系统的范围有所缩小，较之牛顿力学的方程，拉格朗日方程包含的信息增加，所以更容易寻找首次积分。对于势力场中的拉格朗日方程，存在两类首次积分：循环积分和首次积分。（1）循环积分一般而言，拉格朗日函数L会显含所有广义速度，但可能

7、会不显含某些广义坐标，在这种场合我们可得到循环积分，L中显缺的广义坐标称为循环坐标。设质点系的前r个坐标是循环坐标，则有循环积分（11－4）称为对应于广义坐标的广义动量(j=1,...,r)。循环积分的力学意义就是：对应于循环坐标的广义动量守恒。（2）能量积分系统的动能是广义坐标和广义速度以及时间t的函数。可以将动能分解成如下形式：（11－5）其中、和分别为动能关于广义速度的二次齐次函数、一次齐次函数和零次齐次函数。如果在拉格朗日函数中不显含时间t，则有能量积分（11－6）该积分表示了质点系的部分能量之间的关系，称之为广义能量

8、积分。它同机械能守恒定理是有区别的。该积分常出现在相对于非惯性系运动的质点系中。对于定常约束，，能量积分的形式为：（11－7）这就是通常意义下的势力场中系统的机械能守恒定律。刚体的定点运动与一般运动刚体的定点运动与一般运动属于刚体的三维运动,在本章首先研究其运动学,然后在研究