[精品]概率论文---古典概型浅析.doc

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1、浅析古典概型1018202班于春旭1101800214经过一学期的概率论与数理统计的学习，从最开始的随机事件与概率到多维随机变量,再到数理统计，参数估计。对于概率的一些基木知识已经有所掌握。那么冋过头来，让我们去分析一下概率论屮最为基础的也是最为贴近平时生活的一种概型，古典概型。所谓古典概型是一种概率模型。古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基木空间由有限个元素或基木事件组成，其个数记为n，每个基木事件发生的可能性是相同的。若事件A包含m个基木事件，则定义事件A发生的概率为P(A)=m/n,也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基木事

2、件个数除以基本空问的基本事件的总个数，这是p.-s.拉普拉斯的古典概率定义，或称Z为概率的古典定义。历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏屮的问题引起的。计算古典概率，可以用穷举法列出所有基木事件，再数清一个事件所含的基木事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。例如：掷一次硬币的实验(质地均匀的硬币)，只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰了的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的；又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于这个模型。是概率论屮最直观和最简单的模型；概率的许多运算规则，也首先是

3、在这种模型下得到的。一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征一一有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。相较于其他概型，古典概型有以下特点：1、实验的样木空问只包括有限个元素；2、实验中每个基本事件发生的可能性相同。求古典概型的概率的基本步骤：(1)算岀所有基木事件的个数n；(2)求岀事件A包含的所有基本事件数m；(3)代入公式P(A)=m/n,求出P(A)。古典概率模型是在封闭系统内的模型，一旦系统内的某个事件的概率在其他概率确定前被确定，其他事件概率也会跟着发生改变。概率模型会由古典概型转变为儿何概型。除开以上的基础内容外

4、，关于古典概型，可以做一些的简单案例解析，以便与我们更好地理解。众所周知，古典概型起源于赌博，所以有许多经典问题都十分生活化。而且有些问题的解题思路灵活，方法十分育观简单，这也正是古典概型的魅力所在。以下是儿个例子：1.分赌木问题最初吸引数学家研究赌博问题的就是分赌木问题：甲、乙两人赌技相同，备出赌注500元。约定：谁先胜三局，则谁拿走全部1000元。现在赌了三局，甲两胜一负，因故要屮止赌博，问这1000元要如何分才公平？这个问题在当时持续了很长一段时间没有得到解决，且众说纷纭。有人认为按已胜的局数分，即甲拿2/3,乙拿1/3,但仔细分析，这样分是不合理的，因为设想再

5、继续赌下去,结果无非是以下四种：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙。把已赌过的三局与此对照，可以看出，对前三个结果，祁是甲先胜三局，因而得1000元，只在最后一个结果中乙才得1000元，在赌技相同的情况下，这四个结果出现的可能性相等，即甲、乙最终获胜的可能性之比为3:1(或甲最终获胜的概率为3/4,乙最终获胜的概率为1/4),所以全部赌木按这个比例来分，即甲分750元，乙分250元才算公平合理。这个例子告诉我们，看问题不能只看表血，而应深入地分析，才能揭开问题的木质。由此便乂想到另一个比赛问题，在100名选手屮进行淘汰赛，最后产生1名冠军，问要进行几场比赛？-•般的想法是第一轮要

6、进行50场比赛，留下50名选手；第二轮……但这个过程漫长繁琐。换一个角度来想这个问题，比赛一场淘汰一人，最后只剩下一人（冠军），这意味着要淘汰99人，所以要比赛99场，就这么简单。2・对称法对称性被广泛应用于古典概型的问题屮，因为古典概型屮的等可能性决定了在这个模型下的事件概率具有某种对称性。它的优点是可以避开纠缠不清的种种关系，岚接得到结果。例如：甲、乙两人掷均匀硬帀，其中甲掷n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面的次数大于乙掷出正血的次数的概率？用A1表示中掷出正瓯的次数，A2表示甲掷出反面的次数，B1表示乙掷出正面的次数,B2表示乙掷出反面的次数。由于硬币是均匀的，所

7、以掷硬币示所得到的结果具有对称性,显然P（A1>B1）=P（A2>B2）,而掷便币的所有结果也无非这两类：Al>B1及A2>B2,故P（A1>B1）=P（A2>B2）=l/2另一个问题的分析方法也是同样：将标号为1、2、3、4的四个小球随意地排成一排，求1号球排在2号球的右边（不一定相邻）的概率？由于1号球不是排在2号球的右边就是排在2号球的左边，二者必居其一。而交换1号球和2号球的位置其左右也正好发生交换,所以排在左边与排在右边的排法数是相同的各占英屮的1/2,故1号球排在2号球的右边的概率是1/2（当然1号球排在2号球的左边的概率也是1/2）。以