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《数理统计课件 5.2-1 两因素方差分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§5.2两因素方差分析两因素方差分析讨论两因素试验的统计推断问题．本节分非重复试验和重复试验两种情形进行讨论．两因素非重复试验的方差分析设有两个因素A,B，因素A有r个不同水平A,,AA"；因素B有s个不同水平BB,,"B，在A,B的12r12s每一种组合水平(,)AB下作一次试验，试验结果为ijXij()ir==1,"",,js1,2,,，所有Xij相互独立，这样共得rs个试验结果(表5.8).表5.8因素BB1B2"BsXi.因素AA1X11X12"X1sX1.A2X21X22"X2sX2.######AXX"XXrr1r2rsr.X•jX•1X•2"X•sX这种对每个组
2、合水平(,)ABi(==1,,,1""rj,2,,s)ij各作一次试验的情形称为两因素非重复试验．2假定总体Xij服从正态分布N(µij,σ)，其中µ=++µαβ，ir==1,"",,j1,2,,s，(5.13)ijijrs而∑αi=0，∑βj=0．i=1j=1于是可得两因素方差分析的数学模型为⎧⎪X=+++µαβε,ijijij⎨ir==1,"",,j1,2,,,s(5.14)2εσ∼N()0,,⎪⎩ij其中诸ε相互独立,ε称为随机误差。α称为因素A在水ijiji平A引起的效应,它表示水平A在总体平均数上引起的ii偏差.β称为因素B在水平β引起的效应,它表示水平jjB在总体
3、平均数上引起的偏差.j所以要推断因素A的影响是否显著,就等价于要检验假设H:0α====↔αα"H:至少有一个α≠0,ir=1,2,",.0112r11i类似地,要推断因素B的影响是否显著,就等价于要检验假设HH:0β====↔ββ":至少有一个β≠0,js=1,2,",0212s12j当H成立时,从式(5.13)可以看出,均值µ与α无关,这01iji表明因素A对试验结果无显著影响.同理,当H成立时,02从式(5.13)可以看出,均值µij与β无关,这表明因素B对j试验结果无显著影响.当H,H都成立时,µ=µ,X的0102ijij波动主要是由随机因素引起的.为导出检验假设H与
4、H统计量，需要做一下工作：01021.总离差平方和分解1s记Xii.==∑Xij,1(),2,",r,sj=11rX.ji==∑Xj,1()j,2,",s,ri=111rsr1sX==∑∑XXXij∑i..=∑j,rsij==11ri=1sj=1于是总离差平方和rs2QXTi=−∑∑()jXij==11rs2=−∑∑⎡⎤⎣⎦()XXXXXXXXiji..−j++()i.−+().j−ij==11rsrsrs222=−∑∑()XijXXXi..−j++−∑∑()XXi.+−∑∑()XX.jij==11ij==11ij==11rs+−2∑∑()XijXXXXXi..−j+()i.
5、−ij==11rs+−2∑∑()XijXXXXXi..−j+().j−ij==11rs+−2∑∑()Xij..XXX()−ij==11rsrs222=−sXXrXX∑∑∑()iji..+−()+−∑()XXXXji.−.j+.iji===111j=1上式成立是由于rs∑∑()Xij−−+XXXXXiiij()ii−ij==11rssss=−∑∑[]Xij∑XXXiii−+−∑j∑()XiiXij==11j=1j=1j=1r=−∑[]sXiiiisX−sX+−sX()XiiX=0i=1sr∑∑()Xij−−+XXXXXi..j().j−ji==11s∑[]rXiijj−rX−+
6、rXrX()Xij−=X0j=1rssr∑∑()Xij..−−XXX()=−∑()XX.j∑()XXi.−ij==11j=1i=1=−()sXsXrX()−=rX0r2⎫QsXXAi=−∑().⎪i=1⎪s2⎪令QrXXBj=−∑().⎬(5.15)j=1⎪rs2⎪QXEi=−∑∑()jXi..−Xj+X⎪ij==11⎭则可得QQQQ=++,TABE上式称为总离差平方和分解式.其中Q为因素A引起的A离差平方和,Q为因素B引起的离差平方和,Q称为随BE机误差平方和.2.求EQ，EQ，EQEAB引进随机变量ε,ε与ε,其中i..j1s1rεii.=∑εj,ε.j=∑εij,ir=
7、1,2,",，js=1,2,",,sj=1ri=111rsr1sε==∑∑∑∑εεεiji..=jrsij==11ri=1sj=1应用式(5.14)可把式(5.15)写成r⎫2QsAi=+∑()αεεi.−⎪i=1⎪s2⎪QrBj=+∑()βεε.j−⎬(5.16)j=1⎪rs2⎪QEi=−∑∑()εεεεji..−.j+⎪ij==11⎭⎛⎞σ22由于()2⎛⎞σεij∼N0,σ,εi.∼N⎜⎟0,,ε.j∼N⎜⎟0,,⎝⎠s⎝⎠r2⎛⎞σε∼N⎜⎟0,()ir==1,"",,j1,2,,s,从而⎝⎠r
