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《数理统计课件 5.2-2 两因素方差分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二、两因素等重复试验的方差分析在上面的讨论中，由于只对A,B两个因素的每一种组合水平进行了一次试验，所以不能分析A,B两因素间是否存在交互作用的影响.下面讨论在每一组合水平(,)AB下等重复试验情形的方差分析问题.ij设有两个因素A和B，因素A有r个不同水平A,,,AA"，因素B12r有s个不同水平BB,,,"B，在每一种组合水平(,)AB下重复试验t12sij次，测得试验数据为X（ir=1,2,",，j=1,2,",s，kt=1,2,",）.将ijk它们列成表（表5.12）.表5.12因素BBB12s因B···素AA1(0.03)X111,,,X
2、X112"11tX121,,,XX122"12t···X11ss,,,XX12"1stA2(0.04)X211,,,XX212"21tX221,,,XX222"22t···X21ss,,,XX22"2st#####A3(0.05)Xrr11,,,XX12"r1tXrr21,,,XX22"r2t···Xrs12,,,XXrs"rst假定2X服从正态分布N(,)µσ（ir=1,2,",，j=1,2,",s，kt=1,2,",），ijkij且所有X相互独立，µ可以表示为ijkijµ=+++µαβδ，ir=1,2,",，j=1,2,",sijijijrss
3、11其中µ=∑∑µij，αii=−∑()µµj，rsij==11sj=1r1βj=∑()µij−µ，δij=−−−()µµαβijij.ri=1容易证明下列各式成立rs∑αi=0，∑βj=0，i=1j=1rs∑δij=0，∑δij=0，ir==1,2,"",,j1,2,,si=1j=1从而得两因素等重复试验方差分析的数学模型为2X=++++µαβδε，ε∼N(0,σ)，（5.18）ijkijijijkijkir===1,2,""",,js1,2,,,kt1,2,,，其中ε相互独立，α称为因素A在水平A的效应，β称为因素Bijkiij在水平B的效应，
4、δ称为因素A,B在组合水平(,)AB的交互作用效jijij应.因此，要判断因素A,B以及A与B交互作用A×B的影响是否显著，分别等价于检验假设HH:0α====←αα""⎯→:α,α,,α中至少有一个不为0.0112rr1112HH:0β====←ββ""⎯→:β,β,,β中至少有一个不为0.0212ss1212Hir:δ==0,1,2,,,1""js=,2,,.←⎯→H:,,δδ"中至少有一个不为003ij1311rs的问题.为了导出上述三个假设检验的统计量，仍采取离差平方和分解的办法.rstt11令X=∑∑∑Xijk，Xiji=∑Xijk，rs
5、tij===111ktk=1strt11Xiii=∑∑Xijk，Xiij=∑∑Xijkstjk==11rtik==11rst于是有2QT=∑∑∑()Xijk−Xij===111krst＝∑∑∑[(Xijii−+−XXX)(ii)ij===111k2＋()XXXXXXijii−−++−(ij)]ijiiiiijkrstrst＝22∑∑∑()Xijii−+XX∑∑∑()ii−Xij===111kij===111krstrst＋22∑∑∑()XXXXijii−−++ijiiii∑∑∑(XXijk−ij)ij===111kij===111k＝QQQQ+++
6、（5.19）ABA×BE其中rstr⎧22⎪QXAi=−∑∑∑()()iiX=st∑Xiii−X,⎪ij===111ki=1⎪rsts22⎪QXBj=−∑∑∑()()iiX=rt∑Xiij−X,⎪ij===111ki=1⎪rst⎪2⎨QXAi×B=−∑∑∑()ijiXii−Xiij+X（5.20）⎪ij===111k⎪rs2⎪=−tX∑∑()ijiXijii−Xii+X,⎪ij==11⎪rst⎪QX=−()X2,E∑∑∑ijkiji⎪⎩ij===111k称Q为因素A引起的离差平方和，Q为因素B引起的离差平方AB和，Q为因素A与B的交互作用A×B引起
7、的离差平方和，Q为误差A×BE平方和.rstt11令ε＝∑∑∑εijk，εiji=∑εijk，rstij===111ktk=1sr11εiiii=∑εji，εiij=∑εijisj=1ri=1r2⎫QsAi=−t∑()αεε＋iii⎪i=1⎪s⎪2QrBj=−t∑()βεε＋iij⎪i=1⎪则可得⎬（5.21）rsQt=+()δεεεε−−+2⎪Ai×B∑∑jijiiiiiji⎪ij==11⎪rst2⎪QEi=−∑∑∑()εεjkiji⎪ij===111k⎭r22⎫EQ()(1Ai=−r)σα+st∑,⎪i=1⎪s⎪22EQ()(1Bj=−s)σβ
8、+rt∑,⎪i=1⎬（5.22）rs⎪22EQ()Ai×B=−−(1r)(1s)σδ+t∑∑j,⎪ij==11⎪2⎪EQ(
