第五章 习题解答

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1、第五章大数定律和中心极限定理李昌兴系别班级姓名学号.作业14大数定律、中心极限定理（I）一、设随机变量序列XX,,,,??X是相互独立的,对于每一个固定的n,X12nn的分布律为nnX−202n−(2nn+−1)2−(2n+1)概率21−22试证随机变量序列XX,,,,??X服从大数定律.12n证由于nn−+(21)−2nnn−+(21)EX()(2)2=−×+×−0(12)22+×=0n22nn−+(21)222−nnn−+(21)DX()()(2)2==EX−×+0(×12)(−+×=2)21nn根据切比雪夫大数定理可知：随机

2、变量序列XX,,,,??X服从大数定律.12n二、设随机变量序列XX,,,,??X是独立同分布且12nn22EX(),k=µDX()k=≠σ0(1k=,2,)?,Yknk=∑Xnn(1+)k=1试证随机变量序列Y依概率收敛.(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，n2009.6，P116,例5)三、设随机变量X,,,XX?独立同分布,EX(),()1=µDX=6,求12100kkPX{

3、

4、−≤µ1}.10010011164解由已知条件EX()(=E∑Xi)=µ，EX()(==E∑Xi)=.再100i=1100i=110025由

5、中心极限定理，得

6、

7、1X−µ1PX{

8、

9、−≤=µ1}P{≤}≈Φ2()1−DX()DX()DX()5=Φ−≈2()10.98762四、据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.16解设16只元件的寿命分别为Vk，k=1,2,?,16,记V=∑Vk，且EV(k)=100，k=1DV()=10000。由独立同分布中心极限定理，随机变量k-85-第五章大数定律和中心极限定理李昌兴16∑Vk−1600V−1600k=1Z==1

10、6100⋅400近似服从正态分布N(0,1)，则⎧VV−−160019201600⎫⎧−1600⎫PV{>=1920}P⎨>⎬⎨=1−P≤0.8⎬⎩⎭400400⎩400⎭≈1−Φ(0.8)=0.2119即寿命总和大于1920小时的概率为0.2119。五、一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为(200.1)mm±时产品合格，试求产品合格的概率.10解设Vk为每个部件长度，VV=∑k，由独立同分布中心极限定理，随机变量k=110∑Vk−20

11、k=1Z=0.05⋅10近似地服从正态分布N(0,1)，则⎧⎫200.120−−V−20200.120−+PV{200.1−<<+=200.1}P⎨⎬<<⎩⎭0.05⋅⋅⋅100.05100.05101=Φ2()1−≈0.47140.5⋅10则产品合格的概率为0.4714。六、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？5000解5000只零件的重量分别为Xi，i=1,?,5000，记X=∑Xi，由独立同分k=1布中心

12、极限定理，随机变量5000∑Xi−×0.55000X−2500k=1Z==0.1⋅500050近似服从正态分布N(0,1)⎧X−250010⎫⎧X−2500⎫PX{>=2510}P⎨>⎬≈−1P⎨≤1.414⎬⎩⎭5050⎩⎭50=1−Φ(1.414)≈0.0793则总重量超过2510kg的概率为0.0793。-86-第五章大数定律和中心极限定理李昌兴系别班级姓名学号.作业15大数定律、中心极限定理（II）一、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(0.5,0.5)−上服从均匀分布.(1)若将

13、1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？．n解设有n个数相加，Xi分别为每个数的舍入误差。记X=∑Xi，EX()0i=，i=116∑Xi−n⋅01k=1DX()=由定理一知，随机变量Z=近似地服从正态分布N(0,1)i12n/12(1)所求概率−15X15PX{≤=−≤≤15}P{15X15}=

14、02。(2)所求概率⎧−10X10⎫PX{1<=}P⎨<<⎬⎩⎭nnn/12/12⋅/12⎧⎫10=Φ21⎨⎬−≥0.9⎩⎭n/12⎧⎫10⎧⎫10即Φ≥⎨⎬0.95，有Φ≥⎨⎬Φ()1.645。因而可求n最大为443.⎩⎭n/12⎩⎭n/12二、