第五章+习题解答

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1、高等数学习题解答（第五章定积分）惠州学院数学系26习题5.11．证：2．解：（1）令，则得驻点：由，得由性质，得（2）令，，所以在上单调增加，，，即3．解：（1）当时，有，且不恒等于，，即。（2）当时，有，且不恒等于，，即。（3）令，则，所以在上单调增加，，且不恒等于，所以（4）令，则，所以在上单调增加，，且不恒等于，所以4.解：在区间内：，由比较定理：5.证明：考虑上的函数，则，令得当时，26当时，∴在处取最大值，且在处取最小值.故，即。6.解：平均值.习题5.21.解：（1）.（2）.（3）===.(4)

2、==.(5)===.（6）===.2．解：（1）（2）3.解：当，得驻点，为极小值点，26极小值4.解：当时，当时，当时，故5.解：令，则，从而即，∴6．解：原式7．解：习题5.31．解：（1）=（2）（3）（4）26（5）（6）（7）（8）（9），其中解：（10），其中.解：2．解：（1）（2）（3）（4）26（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）26（14）（15）3.解：(1)∵为奇函数∴（2）利用定积分的线性性质可得原式而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0，原

3、式4．证：令，则左边右边5．证：令，则左边=右边6．证一：而26所以的值与无关。证二：令，则，所以是与无关的常数。7．证：令，则所以是偶函数。8．证：即习题5.41.答：不正确.因为在[0，]上存在无穷间断点，故不能直接应用公式计算，事实上，所以广义积分发散.2．解：（1）26即广义积分收敛于.（2）发散.（3）即广义积分收敛于.（4）而所以（5）（6）（7）（8）令，则，于是∴26从而。3.解：（1）=+=(2)令，于是4.解：左端右端∴解之或。本章复习题1.解：若在几何上表示由曲线，直线及轴所围成平面图形

4、的面积.若时，在几何上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值.（1）由下图（1）所示，.2A(2)-1-1111A1A(1)261-13A4A5A2ππ(3)11(4)（2）由上图（2）所示，.（3）由上图（3）所示，.（4）由上图（4）所示，.2.解：3.解：任取分点,把分成个小区间，小区间长度记为=-,在每个小区间上任取一点作乘积的和式：,记,则.4.解：连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对等分，分点取相应小区间的右端点，故===26当（即），由定积分的定义得：=．5.解：先求在上的最值，由,

5、得或.比较的大小，知，由定积分的估值公式，得,即.6.解：（1）（2）=+==4+.（3）=+==2+2=4.（4）=.7.解：（1）=.（2）=.（3）.（4）=.8.解：（1）此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得==26（2）9.解：10．解：原式11．解：将两边对求导得∴12.答：（1）不正确，应该为：=（2）不正确，应该为：=2.13.解：（1）令=,则,当=0时，=0；当=4时，，于是=（2）==.26(3)(4)(5)令，，，时；时，.于是(6)令，则，.当时，，当时，.原式.14.解：（1）=

6、==.(2)==＝=1(3)==移项合并得.（4）26（5）（6）15.解：(1)=(2)原式16.解：由已知条件得，即，，即得。17.证明：（1）设.且当时，；当故26（2）设，=利用此公式可得：====.18.证明：利用分部积分法，=19.答：不正确.因为在[，]上存在无穷间断点，不能直接应用公式计算，事实上，++++不存在,故发散.20.解：（1）=,发散.（2）=（3）26（4）=.21.解：(1)。(2)令，，则22.证明：当，发散；当=。本章复习题一、填空题1．。[答案：填]2.若，则。[答案：填

7、]令（为常数），则，所以26即。3.设有一个原函数，则。[答案：填]因为，所以4.。[答案：填]5.设，则常数。[答案：填]左边，右边，所以二、选择题1．设，其中为连续函数，则等于（）。（A）；（B）；（C）；（D）不存在。[答案：选（B）]应用洛必达法则，有2．设为连续函数，且，则等于（）。（A）；（B）；（C）；（D）。[答案：选（A）]263．设函数在闭区间上连续，且，则方程在开区间内的根有（）。（A）个；（B）个（C）个；（D）无穷多个。[答案：选（B）]令，则在闭区间上连续，且，则由零点定理知，方程

8、在内至少有一个根。又因为当时，有所以函数在内单调增加，因此方程在内至多有一个根。综上，有方程在内只有一个根。4．下列广义积分收敛的是（）（A）；（B）；（C）；（D）；[答案：选（C）]令，则上面四个广义积分可化为（A）；（B）；（C）；（D）。则显然收敛，因为，而其余的都，发散。5．下列广义积分发散的是（）。（A）；（B）；（C）；（D）[答案：选（A）]（A）中，为瑕点，且，由极限敛散性判别法，