排列组合问题中数学思想方法探讨

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1、DOI:10.13974/j.cnki.51-1645/z.1995.04.011陈国树排列组合问题中数学思怒方法探讨排歹U组合问题中数学思想方法探讨陈国树(川北教育学院数学系四川遂宁629),探讨解排列组合问题摘要本文从数学方法论的角度的各种方法中所蕴涵的数学·,,,,,思怨:如分类思怒特珠化思怨化归思想对称思想具休问题一般化畏怒数学模型化,。思怒等等关键词排列组合数学思怨方法,,,排列组合是中学数学中较特殊的一个内容它的思维方式独特解题方法灵活多变既有直接法、间接法,还有一些典型解法,这些方法中

2、蕴涵了非常丰富的数学思想,本文将就这方面的问题进行探讨,以便加深对排列组合解题方法的理解.1分类思想,:解排列组合问题最常用的方法是分类法它的基本思想是当被研究的问题包含多种可能的情,,,况导致我们不能对它们一概而论的时候迫使我们按可能出现的所有情况来分类讨论得出各类相应的结论.分类法以加法原理为基础,加法原理给我们提供了分类后排列数或组合数的计算方法.,,加法原理所回答的是分类独立完成一件事每类方法都能完成这件事那么完成这件事总的方法数是各类方法数之和.应用加法原理解题时,要求分类要合理,一方面,

3、分类必须详尽无遗,否则就会漏算,另一方面,分出的类不应有交叉,否则就会重复计算.对于带限制条件的排列组合问题,解题的关键往往是恰当的分类.1七个人排成一列,甲不在首位,,?例乙不在末位共有多少种不同的排法:,,,分析考虑元素甲题中要求甲不在首位因此甲只能在另外六个位置上又题中对末位元素有限制条件,而对中间五个位置未加任何限制,“甲在末位”和“甲不在所以可将符合条件的排列分为.”两末位类所求七人的。卜法有甲在末位时,有P息种;,·P·,{甲不在末位且甲不在首位时有P;IP;种根据加法原理知.符合条件的

4、排法有.PP·P·I+;;P}一3720(种),,“”由上可知对带限制条件的全排列或选排列问题可以按某一特殊元素在某一特殊位置和,.“不在这”一特殊位置一分为二地分成两类分别计算排列数然后根据加法原理相加得解2特殊化思想,,求解带限制条件的的排列组合问题通常有两种方法一是直接计寡法把符合限制条件的排列:1收稿日期995一10一04199年5(总)川北教育学院学报(自然科学版)弟4期认粼;,,数或组合数直接计算出来二是间接计算法先算出无限制条件的所有排列数或组合数再从中减.以上两种方法中都体现了特殊化

5、思想,去全部不符合条件的排列数或组合数即优先考虑受限制的元素或位置,从特殊元素或特殊位置着手,抓住主要矛盾,这样就可使问题迎刃而解.,,,,,例2用12345这五个数字可以组成比20000大并且十位数字不是5的没有重复数字的五位数共有多少个?:、5,分析(直接计算法)优先考虑特殊位置万位十位及特殊元素符合条件的五位数可分成两:类,,5P之;第一类万位数字是有个,,,第二类万位数字不是5且万位数字比1大那么万位数字有P;种排法十位数字有P;种排法,剩余位置有P;种排法.因而相应的五位数的个数有P生·P

6、;·P;个.,根据加法原理所求的五位数共有P之十巩·P;·P;一78(个).(间接计算法)先求出满足第一个限制条件的五,位数的个数然后从中减去不满足第二个限制.比00。。P·PI,5条件的五位数的个数2大的五位数的个数是乏其中十位数字是的五位数的个数.是P;·P;因而所求的五位数有.·P卜P;一P;P{~78(个)(间接计算法)先求出不考虑任何限制条件的五位数的个数,1P复然后从中减去万位数字是的5P二,五位数的个数P二和十位数字是的五位数的个数由于同时满足这两个条件的五位数共有P;,,个被减去了二

7、次还应补上一次因而所求的五位数的个数为P套一ZP;+P孟一78(个).3化归思想`,,:在解决问题的过程中面化归方法是贯穿于整个中学数学的基本方法之一它的基本思想是,,对问题不是直接求解而是对此进行变形转化进而把它们化归为某个已经解决或容易解决的问。、.无处不在,题在排列组合问题的解题过程中化归思想更是应用广泛如组合数公式的导出解题、、.,,中正面与反面对立面之间整体与局部的相互转换等等都是化归思想的谁犷现,,,,,例3求由123456这六个数字组成没有重复数字且数字1与2不相邻的六位数的个数?:“

8、”,一,“分析符合条件1与2不相邻的情况很多直接讨论较复杂因此我们不妨从反面情况1,.,”“”“12”与2相邻入手间接求解解决相邻间题可用捆绑法即假定先用一根绳子把与捆在一起,,,,看成一个元素与另外四个数字的排法有P套种然后将绳子松开1与2的排法有P;种由乘法原理知,1与2相邻的六位数有P;·P圣个..故符合条件的六位数有P{一PI·PI~480(个),4对称思想,,对称思想是数学的基本思想在解排列组合问题时如能洽当地利用元素之间位置的对称关系,便可使解题过程显得异