例谈排列组合中数学思想方法

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1、例谈排列组合中数学思想方法一、数学思想的内涵及其重要意义在数学中，概念、法则、性质、公式、公理、定理等知识要素，浩如烟海、丰富多彩.这些内容反映了一些共同的、带有本质性的东西，这就是数学思想.所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识.数学思想是数学的灵魂，掌握了数学思想，就是掌握了数学的精髓.因此，数学思想是数学教育的出发点和落脚点，加强数学思想的教学，具有十分重要的意义.首先，进行数学思想教学是发展青少年思维的重要途径.《

2、普通高中数学课程标准》指出：“数学素质是公民所必须具备的一种基本素质.数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用.”高中阶段是辩证思维的形成阶段．进行数学思想教学，不仅有助于学生从形式思维向辩证思维过渡，而且有助于形成和发展学生的辩证思维。其次，进行数学思想教学对数学认知结构的变化起着重要作用.数学学习过程是一个数学认知结构的发展和完善过程．数学思想这个过程中起着不可替代的指导作用.12因此，积极进行数学思想教学，将会极大地促进中学生认知结构的发展与完善．第三，加强数学思想教学

3、，可以使学生极大地提高学习效率和数学能力，更能使其受益终生.学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需掌握原理形成类比.数学思想作为数学学科的“一般原理”，在教学中至关重要.学生掌握了数学思想，就有利于学习迁移，从而极大地提高学习质量和数学能力．更重要的是，过了多年以后，他们掌握的数学知识可能会淡忘，或者高中数学知识在他们将来所从事的工作中可能无用武之地，但深深地铭刻于头脑中的数学思想将随时随地发生作用，使他们受益终生．二、排列组合的特点很多数学基础还不错的学生，对排列组合也感到很困惑，甚至很恐惧.他们说上课时

4、似乎都能听懂，但解题的时候往往就不知所措了，对自己的计算结果是否准确根本没什么把握，看到比较复杂的题目更是无从下手.作业出错率很高，自己也不明白错在哪里.这的确是一个很普遍的现象.排列组合究竟难在哪里？为什么会这么难？根本原因在于：（1）从千差万别的实际问题中抽象出几种排列组合模型，需要较强的抽象思维能力；（2）排列组合的限制条件有时较隐晦，需要我们细致审题，对问题中的关键词准确理解；12（3）排列组合的计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量很大；（4）更特别的一点是，计算方案是否

5、正确，往往无法用直观方法来检验，计算得到的数据往往很大，也无法用实践去检验.比如，要上10级的台阶，允许一次上一个或两个台阶，就有89种上法，显然用实践去检验就已经很难了.这要求我们必须搞清概念、原理，并具有较强的分析能力.排列组合是中学数学中较特殊的一个内容，它研究的对象及研究问题的方法都和其他的数学知识很不相同．它的思维方式独特，解题方法灵活多变，各种方法无不深刻地体现了一定的数学思想.可以说，在中学数学中，数学思想在排列组合里是体现得最淋漓尽致的.排列组合也成了发展学生抽象能力和逻辑思维能力、提高数学思想

6、的很好的内容．但要学好排列组合，就必须努力提高自己的数学境界，从数学思想的层面上去理解排列组合问题.三、排列组合中的数学思想1.分类讨论思想分类讨论的基本思想是：当被研究的问题包含多种可能的情况，导致我们不能对它们一概而论的时候，我们可以按可能出现的所有情况来分类讨论，得出各类相应的结论．12例1.（2010天津）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）.A.288种B.264种C.240种D.168种解：（1

7、）若用四种颜色给B，D，E，F涂色，则A与F必同色，C与E也同色，故有24种涂色方法；（2）若用三种颜色给B，D，E，F涂色：①当B、D同色时，A、C都有2种颜色可选；②当B、E同色时，A有2种颜色可选，但C已别无选择了；③当D、F同色时，与②相仿.故共有种涂色方法；（3）若用两种颜色给B，D，E，F涂色，则A与C都有2种颜色可选，故有48种涂色方法.小结：排列组合的一大理论依据就是分类计数原理，解排列组合问题最常用的方法就是分类法.在用分类讨论思想解决排列组合问题时，要注意分清解决问题是用分步计数原理还是用分

8、类计数原理，每一步（类）是排列问题还是组合问题．分类讨论的关键在于合理分类，做到不重、不漏、无交叉.2.归纳思想归纳是由特殊到一般的一种思维方法，归纳思想的最大优点是易理解、易掌握、易操作，从感性到理性，清晰地展现思维过程，容易从中提炼出有丰富内涵的规律.12例2.要上10级的台阶，允许一次上一个或两个台阶，就有多少种上法？分析：设上级台阶有种方法.显然，；；三级台阶时，若第一步上一个